棱的垂面里量二面角

解题套路

设二面角 $\alpha\text{-}\ell\text{-}\beta$ 的棱是 $\ell$。若能找到一个平面 $\pi$ 使

设 $\ell\cap\pi=E$，$\pi$ 与半平面 $\alpha$、$\beta$ 的交线分别是 $EA$、$EB$，则

按定义，$\angle AEB$ 就是这个二面角的平面角。

于是整道题被搬进 $\pi$ 这一张平面图里：$E$、$A$、$B$ 的位置、$EA$ 与 $EB$ 的长度、 它们的夹角，全都在 $\pi$ 内部解决——不用建系，也不用在空间里找垂足。

怎么找到这个 $\pi$

最常用的是先证棱垂直于一个平面。典型信号：

• 棱平行于某条已知垂直于某平面的直线（平行线与平面的垂直关系相同）；
• 棱是某个等腰三角形（或菱形、正方形）的对称方向，而对称轴所在平面显然与它垂直；
• 棱同时垂直于一个平面内的两条相交直线——直接用线面垂直的判定。

菱形是高频入口：菱形的两条对角线互相垂直，若再有一条侧棱垂直于底面， 那么一条对角线就垂直于另一条对角线与那条侧棱张成的平面。

用起来长什么样

四棱锥 $P\text{-}ABCD$，底面菱形，$PA\perp$ 底面。则 $BD\perp AC$、$BD\perp PA$，故

任何平行于 $BD$ 的棱（例如 $\triangle PBD$ 的中位线 $MN$）也垂直于平面 $PAC$。 于是以 $MN$ 为棱的二面角，平面角一定躺在直角三角形 $PAC$ 这张平面图里， 交点 $E$ 就是 $MN$ 与平面 $PAC$ 的公共点。

常见失手

1. 只证了棱垂直于平面内的一条直线。 线面垂直要两条相交直线，缺一条就不成立。
2. 把 $\pi$ 与半平面的交线取错。 交线必须是 $\pi$ 与半平面（不是整个平面）的交， 方向要指向二面角张开的那一侧；取反了得到的是补角。
3. 忘了 $E$ 是唯一的交点。 $\ell\perp\pi$ 保证 $\ell$ 与 $\pi$ 只交于一点， 两条射线因此共起点——这正是”平面角”的定义要求，$\ell$ 与 $\pi$ 不垂直时它们不共起点，这条就用不了。