面面垂直的组合体中的线面平行与二面角

题型说明

• 常见问法：「矩形 $ABCD$ 和梯形 $BEFC$ 所在平面互相垂直，$BE\parallel CF$，给两个直角与两条边长。 （Ⅰ）求证：$AE\parallel$ 平面 $DCF$；（Ⅱ）当二面角 $A\text{-}EF\text{-}C$ 为某个角时，求 $AB$。」 多是解答题里的立体几何那一题，$14$ 到 $15$ 分。
• 骨架的特点是两块的自由度完全分开：公共边（上例的 $BC$）是两块共用的唯一长度， 梯形那一块被题给的直角与边长钉死（没有任何待定量），矩形那一块只剩一条自由边（$AB$）。 于是解题次序是固定的：先把被钉死的那一块彻底解出来，再回头用角度条件解那条自由边。 「先定底面、后定高」这一条，比任何具体技巧都重要。

两问各自的入口

第（Ⅰ）问，线面平行，三条路：

1. 平移：在被钉死的那一块里补一个点（常是某条垂线的垂足），与已知两点连成平行四边形， 于是待证的线段平行于目标平面内的一条线，再用线面平行的判定定理收口（见「平移目标直线」）。
2. 面面平行：两块各出一条边、且两组对应边分别平行（矩形给一组、题面的 $\parallel$ 给另一组）， 于是两个平面平行，待证的线段落在其中一个平面里（面面平行的判定 + 性质）。这条最省笔墨。
3. 向量：把目标平面的法向量算出来，验它与待证线段的方向向量数量积为零，再补一句「端点不在面内」。

第（Ⅱ）问，二面角反求长度，也是三条：

1. 作平面角：在底面里作棱的垂线得垂足 $H$，由「矩形那条边 $\perp$ 底面」＋三垂线定理断定 $\angle AHB$ 是平面角，再解直角三角形（见「三垂线法作二面角」）。
2. 建系：公共边与它在底面内的垂线给两条轴，矩形那条自由边给第三条轴，取两个法向量。
3. 射影面积：矩形那条边垂直于底面，说明底面上的三角形正好是斜面上那个三角形的正射影， 于是 $\cos\theta=\frac{S_{\text{射影}}}{S_{\text{原}}}$，全程不必把角画出来（见「射影面积求二面角」）。

这类题的两处关口

1. 「两个平面垂直」不等于「其中一条边垂直于另一个平面」。 要得到「矩形那条边 $\perp$ 底面」， 必须补上「它在其中一个平面内，且垂直于两平面的交线」这两句——交线是公共边，不是随便哪条线。
2. 棱上的垂足常常落在延长线上。 梯形里 $B$ 到棱 $EF$ 的垂足，往往在 $FE$ 的延长线上而不在线段内； 画图时把它画进线段里，后面的直角三角形就全错。判据是那个顶角是不是钝角。