射影面积求二面角

解题套路

设二面角 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$ 的大小为 $\theta$，$F$ 是 $\alpha$ 内的一个平面图形，$F'$ 是它在 $\beta$ 上的正射影，则

用它求二面角的三步：

1. 找现成的射影。不必真去作垂线：题目里若已经证出某条线段垂直于 $\beta$ 所在的平面， 那条线段的下端点就是上端点的射影。这一步是全套路的关键，也是它能不能用的唯一门槛。
2. 两个三角形都取以棱上的那条边为公共边。取 $\triangle$ 的一边落在棱 $l$ 上， 射影三角形与原三角形共这条边，面积各自算（底相同时就是两条高之比）。
3. 相除得 $\cos\theta$。要求的是角，比值算完直接取 $\arccos$。

为什么值得单独记

• 它绕开了「$\angle XYZ$ 是不是平面角」那一段证明。 作平面角的路子必须先证两条边都垂直于棱 （多半要走一遍三垂线定理）；射影面积法只要求「谁是谁的射影」，而这一条常常在第 (1) 问里就已经证过了。
• 它对钝二面角天然友好：$\cos\theta$ 出来是负数就说明是钝角，不像法向量法那样要另判互补。 （用面积比时取的是正值，钝角的判断要另看图；见下）
• 与建系法比，它不需要坐标；与作平面角比，它不需要辅助线。中间地带的那条路。

自检

• 射影必须是正射影（沿垂直于 $\beta$ 的方向投），斜投影不满足这条公式。
• 面积比给的是 $|\cos\theta|$。二面角是钝角还是锐角要另判——看射影落在棱的哪一侧： 射影与原图形在棱的同侧是锐角，异侧是钝角。
• 原三角形的面积若不好算，用余弦定理先求出夹角、再用 $\frac12ab\sin C$；不要为了凑公式去作那条高。