四面体中的线面平行与二面角

题型说明

• 常见问法：「在四面体 $A\text{-}BCD$ 中，$AD\perp$ 平面 $BCD$、$BC\perp CD$，给两条边长； $M$、$P$ 是某两条线段的中点，$Q$ 在某条棱上且满足一个定比。（1）证 $PQ\parallel$ 平面 $BCD$； （2）已知某个二面角的大小，求底面上的某个角。」多为解答题的第三题，$14$ 到 $15$ 分。
• 骨架比四棱锥那一类更瘦：只有一条竖棱（$AD\perp$ 底面），底面是个直角三角形。 一切竖直方向的长度都由这条竖棱与它上面的中点给出，一切水平方向的长度都由底面那个直角三角形给出， 两边互不干扰——这正是它可以「设底面一个角为 $\theta$、把所有长度写成 $\theta$ 的函数」的原因。

两问各自的入口

第 (1) 问，线面平行，有三条互不相同的路：

1. 造平行四边形：在底面上补一个点（常是某条边的定比分点），使它与已知的两点连成平行四边形， 于是 $PQ$ 平行于底面内的一条线段，再用线面平行的判定定理收口。
2. 造平面：证 $PQ$ 落在某个与底面平行的平面里。
3. 向量共面：把 $\overrightarrow{PQ}$ 用底面内两个不共线向量表示出来——竖直那个基向量的系数为 $0$ 就说明共面（见「向量共面判线面平行」）。这一条最短，且顺带解释了题目里那个定比为什么只能是它。

第 (2) 问，二面角反求底角，也有三条：

1. 作平面角：过底面上一点作交线的垂线，用三垂线定理把平面角找出来，再解直角三角形。
2. 建系取法向量：竖棱给 $z$ 轴，底面那个直角给另外两条轴。
3. 射影面积：底面上那个点在侧面上的射影常常是现成的，于是 $\cos\theta=\dfrac{S_{\text{射影}}}{S_{\text{原}}}$（见「射影面积求二面角」）。

这类题的两处关口

1. 「$\angle XYZ$ 是不是那个二面角的平面角」必须证，不能画出来就算。 判据是两条边都垂直于棱。 常见的证法是先证某条线垂直于一个平面，再由它推出棱垂直于另一个平面，从而棱垂直于那条连线。
2. 设了底角 $\theta$ 之后，所有长度都要写成 $\theta$ 的函数，不能中途换元。 底面直角三角形里 $CD=BD\cos\theta$、$BC=BD\sin\theta$，斜边上的高与两段分线段随之而定； 竖直方向的长度是常数。两者一比，$\theta$ 的方程就出来了。