面面平行的判定定理

教材原文

定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

它可以用符号表示为

$a \subset \beta , b \subset \beta , a \cap b = P, a \parallel \alpha , b \parallel \alpha \Rightarrow \beta \parallel \alpha .$

定理

若平面 $\beta$ 内有两条相交直线都平行于平面 $\alpha$，则 $\beta\parallel\alpha$。

要点

• 「相交」不能松成「平行」。长方体里，在面 $A'ADD'$ 内作 $EF\parallel A'A$， 则 $A'A$ 与 $EF$ 都平行于面 $D'DCC'$，可这两条平行线所在的面 $A'ADD'$ 与面 $D'DCC'$ 相交。 两条相交直线的方向不共线，能张出整个平面的方向；两条平行直线只给一个方向， 平面还能绕这个方向「翘」出去。
• 用法就是把面面平行拆成两次线面平行：在 $\beta$ 内找两条相交直线， 各自用线面平行的判定定理（在 $\alpha$ 内各找一条平行线）证明它平行于 $\alpha$。 于是真正的工作量落在上一节。
• 常见的两条相交直线：正方体（长方体）一个面上的两条邻边或两条对角线、 三角形的两条中位线、梯形的一腰与一底。
• 判定的结论一旦拿到，反过来就能用面面平行的性质定理去要线线平行、线面平行—— 这一进一出是立体几何里最常走的回路。