浙江 2021 · 数学 q06

题面

6. 如图已知正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, $M$, $N$ 分别是 $A_{1}D$, $D_{1}B$ 的中点, 则 ( )

A. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 垂直，直线 $MN //$ 平面 $ABCD$
B. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 平行，直线 $MN \perp$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$
C. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 相交，直线 $MN //$ 平面 $ABCD$
D. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 异面，直线 $MN \perp$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$

答案

A

解析

分析

由正方体间的垂直、平行关系，可证 $MN / / AB, A_{1}D \perp$ 平面 $ABD_{1}$，即可得出结论.

连 $AD_{1}$，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，
$M$ 是 $A_{1}D$ 的中点，所以 $M$ 为 $AD_{1}$ 中点，
又 $N$ 是 $D_{1}B$ 的中点，所以 $MN // AB$，
$MN \not\subset$ 平面 $ABCD, AB \subset$ 平面 $ABCD$，
所以 $MN //$ 平面 $ABCD$。
因为 $AB$ 不垂直 $BD$，所以 $MN$ 不垂直 $BD$
则 $MN$ 不垂直平面 $BDD_{1}B_{1}$，所以选项B,D不正确；
在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AD_{1} \perp A_{1}D$，
$AB \perp$ 平面 $AA_{1}D_{1}D$，所以 $AB \perp A_{1}D$，
$AD_{1} \cap AB = A$，所以 $A_{1}D \perp$ 平面 $ABD_{1}$，
$D_{1}B \subset$ 平面 $ABD_{1}$，所以 $A_{1}D \perp D_{1}B$，
且直线 $A_{1}D, D_{1}B$ 是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确。
故选：A。

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.