浙江 2021 · 数学 q06

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2021 · 数学 q06 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

  1. 如图已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}, MM, NN 分别是 A1DA_{1}D, D1BD_{1}B 的中点, 则 ( )

A. 直线 A1DA_{1}D 与直线 D1BD_{1}B 垂直，直线 MN//MN // 平面 ABCDABCD
B. 直线 A1DA_{1}D 与直线 D1BD_{1}B 平行，直线 MN⊥MN \perp 平面 BDD1B1BDD_{1}B_{1}
C. 直线 A1DA_{1}D 与直线 D1BD_{1}B 相交，直线 MN//MN // 平面 ABCDABCD
D. 直线 A1DA_{1}D 与直线 D1BD_{1}B 异面，直线 MN⊥MN \perp 平面 BDD1B1BDD_{1}B_{1}

答案

A

本题的知识树

3 概念 · 2 定理 · 1 题型 · 1 套路 · 1 易错点 · 最深 4 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

正方体中点连线与面对角线的平行垂直判断 · 中位线定平行，线面垂直定异面垂直 · 最终答案：A

转着看 · 换个机位再判断

正方体里 MM、NN 分别是 A1DA_{1}D、D1BD_{1}B 的中点。连辅助线 AD1AD_{1}：MM 同时是它的中点 ⟹ MNMN 是 △AD1B\triangle AD_{1}B 的中位线 ⟹ MN∥AB⊂MN\parallel AB\subset 底面 ⟹ MN∥MN\parallel 平面 ABCDABCD；又 A1D⊥AD1A_{1}D\perp AD_{1}、A1D⊥ABA_{1}D\perp AB 且两者交于 AA ⟹ A1D⊥A_{1}D\perp 平面 ABD1⊃D1BABD_{1}\supset D_{1}B ⟹ A1D⊥D1BA_{1}D\perp D_{1}B（异面垂直）；而 MNMN 与 BDBD 不垂直 ⟹ MN⊥̸MN\not\perp 平面 BDD1B1BDD_{1}B_{1} ⟹ 四个选项里两句都真的只剩 A

机位自由视角

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这道题在问什么

正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM、NN 分别是 A1DA_1D、D1BD_1B 的中点。四个选项各给两个判断：A1DA_1D 与 D1BD_1B 的位置关系（垂直 / 平行 / 相交 / 异面），以及 MNMN 与某平面的关系。要逐一验证。

读题时的第一个关键判断：A1DA_1D 与 D1BD_1B 是什么关系？A1DA_1D 过顶点 A1A_1、DD；D1BD_1B 过顶点 D1D_1、BB——四个端点互不重合。它们既不平行（方向不同），也不相交（无公共点），是异面直线。选项 C 说「相交」直接排除。

但「异面」与「垂直」不矛盾——异面直线所成角为 90°90° 时就是异面垂直。所以选项 A（垂直）和选项 D（异面）说的不是同一层面的事：A 说的是角度关系，D 说的是位置关系。要选对，得把角度算出来。

教学图：上下两幅，画的是同一个正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的同一个斜二测骨架（棱灰色，被 C 挡住的三条棱画虚线，八个顶点都标了名），一幅走一步。上幅「第一步：MN 是 △AD₁B 的中位线 ⇒ MN ∥ 平面 ABCD」：底面 ABCD 铺淡蓝底纹并标名，连出的辅助三角形 AD₁B 用蓝虚线描边加淡底纹，深蓝实线是 A₁D、亮蓝虚线是 AD₁——两条对角线交于正方形 AA₁D₁D 的中心，所以那个交点 M 既是 A₁D 的中点也是 AD₁ 的中点；M 与 D₁B 的中点 N 都画成绿点并标名，二者之间的绿粗线段就是中位线 MN，旁注 MN ∥ AB，而底边 AB 也描成绿色以示它在底面里。下幅「第二步：A₁D ⊥ 平面 ABD₁，而 D₁B 就在这个平面里 ⇒ A₁D ⊥ D₁B」：三角形 ABD₁（即平面 ABD₁）铺淡蓝底纹并标名，平面内相交于 A 的两条线 AD₁ 与 AB 描成亮蓝，深蓝粗线 A₁D 与它们分别垂直——A₁D 与 AD₁ 的交点处画了一个真直角记号（这两条都躺在不变形的那个面里），旁注 A₁D ⊥ AD₁，右下另注 AB ⊥ A₁D；红粗线是 D₁B，它整条落在淡蓝的平面 ABD₁ 内。图最下方绿字结论：官方答案 A，异面且垂直

解法一：综合几何法

怎么想到的。 正方体里判断平行和垂直，最自然的工具是判定定理：要证线面平行，找平面内一条平行线；要证线线垂直，先证线面垂直（一条线垂直于一个平面，就垂直于平面内所有线）。

第一步：证 MN//MN // 平面 ABCDABCD。

连 AD1AD_1。在 △AD1B\triangle AD_1B 中：

  • MM 是 A1DA_1D 的中点。注意 A1DA_1D 与 AD1AD_1 是同一个四边形 AA1D1DAA_1D_1D（正方形）的两条对角线，它们互相平分，所以 MM 也是 AD1AD_1 的中点。
  • NN 是 D1BD_1B 的中点。

于是 MNMN 是 △AD1B\triangle AD_1B 的中位线，MN//ABMN // AB 且 MN=12ABMN = \frac{1}{2}AB。

又 MN⊄MN \not\subset 平面 ABCDABCD（MM 在正方体内部），AB⊂AB \subset 平面 ABCDABCD，由线面平行的判定定理：MN//MN // 平面 ABCDABCD。

这排除了 B、D（它们说 MN⊥MN \perp 平面 BDD1B1BDD_1B_1）。验证：MN//ABMN // AB，而 ABAB 与 BDBD 不垂直（正方形对角线与边不垂直），所以 MNMN 与 BDBD 不垂直，MNMN 不垂直于平面 BDD1B1BDD_1B_1。

第二步：证 A1D⊥D1BA_1D \perp D_1B。

目标：证 A1DA_1D 垂直于 D1BD_1B 所在的某个平面。观察 D1BD_1B 在平面 ABD1ABD_1 内（AA、BB、D1D_1 三点确定此平面）。若能证 A1D⊥A_1D \perp 平面 ABD1ABD_1，则 A1DA_1D 垂直于平面内的 D1BD_1B。

用线面垂直的判定定理，需找平面 ABD1ABD_1 内两条相交直线都垂直于 A1DA_1D：

  • A1D⊥AD1A_1D \perp AD_1：在正方形 AA1D1DAA_1D_1D 中，两条对角线互相垂直。
  • A1D⊥ABA_1D \perp AB：AB⊥AB \perp 平面 AA1D1DAA_1D_1D（ABAB 垂直于该面的两条相交边 ADAD 和 AA1AA_1），而 A1D⊂A_1D \subset 平面 AA1D1DAA_1D_1D，故 AB⊥A1DAB \perp A_1D。

AD1∩AB=AAD_1 \cap AB = A，由线面垂直的判定定理：A1D⊥A_1D \perp 平面 ABD1ABD_1。

D1B⊂D_1B \subset 平面 ABD1ABD_1，所以 A1D⊥D1BA_1D \perp D_1B。

综合：A1DA_1D 与 D1BD_1B 异面且垂直，MN//MN // 平面 ABCDABCD。选 A。

解法二：空间向量法

怎么想到的。 正方体天然适合建系——三条互相垂直的棱就是坐标轴。建系后一切平行、垂直都变成向量运算，不需要「看出」辅助平面。

建系。 以 DD 为原点，DA→\overrightarrow{DA}、DC→\overrightarrow{DC}、DD1→\overrightarrow{DD_1} 分别为 xx、yy、zz 轴正方向，设棱长为 11：

D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0)D(0,0,0),\ A(1,0,0),\ B(1,1,0),\ C(0,1,0) D1(0,0,1), A1(1,0,1), B1(1,1,1), C1(0,1,1)D_1(0,0,1),\ A_1(1,0,1),\ B_1(1,1,1),\ C_1(0,1,1)

中点： M=A1+D2=(12, 0, 12),N=D1+B2=(12, 12, 12)M = \frac{A_1+D}{2} = \left(\frac{1}{2},\,0,\,\frac{1}{2}\right),\quad N = \frac{D_1+B}{2} = \left(\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)

判断 MNMN 与平面 ABCDABCD 的关系。

MN→=N−M=(0, 12, 0)\overrightarrow{MN} = N - M = \left(0,\,\frac{1}{2},\,0\right)

等等——这给出 MNMN 沿 yy 轴方向，即 MN//DCMN // DC。而 DC⊂DC \subset 平面 ABCDABCD，MN⊄MN \not\subset 平面 ABCDABCD（MM 的 zz 坐标为 12≠0\frac{1}{2} \neq 0），所以 MN//MN // 平面 ABCDABCD。

（注意：这里得到 MN//DCMN // DC 而非 MN//ABMN // AB——两者等价，因为 AB//DCAB // DC。与解法一的中位线结论一致。）

判断 A1DA_1D 与 D1BD_1B 的关系。

A1D→=D−A1=(−1, 0, −1)\overrightarrow{A_1D} = D - A_1 = (-1,\,0,\,-1) D1B→=B−D1=(1, 1, −1)\overrightarrow{D_1B} = B - D_1 = (1,\,1,\,-1)

点积： A1D→⋅D1B→=(−1)(1)+(0)(1)+(−1)(−1)=−1+0+1=0\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{D_1B} = (-1)(1) + (0)(1) + (-1)(-1) = -1 + 0 + 1 = 0

点积为 00，所以 A1D⊥D1BA_1D \perp D_1B。

又两直线无公共点（A1DA_1D 上点的 yy 坐标恒为 00，而 D1BD_1B 上除 D1D_1 外 y≠0y \neq 0，D1D_1 不在 A1DA_1D 上），故为异面垂直。

选 A。

避坑

本题最容易犯的错是把 A1DA_1D 与 D1BD_1B 误判为相交。在正方体的透视图里，DD 与 D1D_1 紧挨着，两条线段看起来像是交于 D1D_1 附近。但只要列出各自的端点——A1DA_1D 过 A1A_1、DD，D1BD_1B 过 D1D_1、BB——就知道它们没有公共点。正方体中，一条面对角线与另一面的不共端点的对角线，往往就是异面的。

本题涉及的教材页

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