浙江 2018 · 数学 q12

冷启动：三块半平面的公共部分

约束是三个一次不等式：

$$\begin{cases} x-y\ge 0,\\ 2x+y\le 6,\\ x+y\ge 2. \end{cases}$$

每一条表示一条直线的一侧，三块半平面的公共部分是一块有界闭区域。目标 $z=x+3y$ 是线性的，最值一定在某个顶点处取得。

解法一：平移目标直线

怎么想到的。 把 $z=x+3y$ 改写成 $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{z}{3}$。这是一族斜率固定为 $-\dfrac{1}{3}$ 的平行线，$z$ 越大，纵截距 $\dfrac{z}{3}$ 越大。在可行域上平移这族直线，最先碰到的顶点给最小值，最后离开的顶点给最大值。

① 先求出三个顶点，并确认它们都在可行域上。 边界两两联立：

• $x-y=0$ 与 $x+y=2$：得 $C(1,1)$。$2\cdot 1+1=3\le 6$，在第三条约束的内侧。
• $x-y=0$ 与 $2x+y=6$：得 $A(2,2)$。$2+2=4\ge 2$，在第三条约束的内侧。
• $2x+y=6$ 与 $x+y=2$：得 $B(4,-2)$。$4-(-2)=6\ge 0$，在第三条约束的内侧。

三条边的斜率分别是 $1$（$CA$）、$-2$（$AB$）、$-1$（$CB$），没有一条等于目标直线的 $-\dfrac{1}{3}$，所以目标直线不会贴着某条边平移，最值只可能出现在顶点。区域是三条闭半平面的公共部分，有界。

② 用截距排序，而不是用纵坐标排序。 过一个点 $(x_0,y_0)$ 的目标直线截距是 $\dfrac{x_0+3y_0}{3}=\dfrac{z}{3}$。三个顶点的 $z$ 是

$$z(C)=1+3=4,\qquad z(A)=2+6=8,\qquad z(B)=4-6=-2.$$

截距从低到高是 $B$、$C$、$A$。因此从下往上平移时，先碰到 $B$（最小值 $-2$），最后离开 $A$（最大值 $8$）。

解法二：三个顶点代入比大小

怎么想到的。 最值只能在顶点出现，三个点逐个代入 $z=x+3y$，比大小即可，不必判断斜率、也不必谈平移。

边界两两联立（每一点再用剩下那条不等式核一遍，确认它真在可行域上）：

• $x-y=0$ 与 $x+y=2$ 得 $C(1,1)$，且 $2\cdot 1+1=3\le 6$。
• $x-y=0$ 与 $2x+y=6$ 得 $A(2,2)$，且 $2+2=4\ge 2$。
• $2x+y=6$ 与 $x+y=2$ 得 $B(4,-2)$，且 $4-(-2)=6\ge 0$。

$$z(C)=1+3\cdot 1=4,\qquad z(A)=2+3\cdot 2=8,\qquad z(B)=4+3\cdot(-2)=-2.$$

三个数里最小是 $-2$，最大是 $8$。