浙江 2010 · 数学 q07

冷启动：先认清谁在动

题面给了五样东西：三条约束、目标函数 $x+y$、它的最大值 $9$、以及四个候选的 $m$。把它们摆一摆，三句话就定了这道题的走法。

第一句：目标方向是死的。 $x+y=z$ 改写成

$$y=-x+z ,$$

是一族斜率恒为 $-1$ 的平行线，$z$ 就是它在 $y$ 轴上的截距。求 $x+y$ 的最大值，就是把这条斜率 $-1$ 的直线朝右上平移，直到最后一次碰到可行域——原卷那句「将最大值转化为 $y$ 轴上的截距」说的正是这件事。

第二句：动的是可行域的一条边。 参数 $m$ 不在目标函数里，而在第三条约束 $x-my+1\geqslant0$ 里。$m$ 一变，这条边连同它切出来的那块区域整个换形状——顶点不是死的，不能照着某一张图去指定最优点。

第三句：那条边永远绕着同一个点转。 把边界写成

$$x+1=my ,$$

代入 $(-1,0)$：左边 $-1+1=0$，右边 $m\cdot0=0$，对任何 $m$ 都成立。所以第三条边是一束过定点

$$P(-1,0)$$

的直线，四个候选值只是让它绕 $P$ 转到四个不同的角度。顺带也解释了原卷第二句「将 $m$ 等价为斜率的倒数」：这条边的斜率是 $\frac{1}{m}$（$m\neq0$），说 $m$ 就是说斜率。

于是整道题变成一句话：这束直线转到哪个角度，才能把可行域封成有界的一块，而且封顶的那个顶点恰好落在 $x+y=9$ 上？

解法一：原卷路线——最大值读成截距，$m$ 读成斜率的倒数

先看没有第三条约束时会怎样。 前两条

$$x+3y-3\geqslant0 ,\qquad 2x-y-3\leqslant0$$

围出的是一块朝上张口的角形区域，角点在两条边界的交点

$$\left\{\begin{aligned}x+3y&=3\\ 2x-y&=3\end{aligned}\right. \quad\Longrightarrow\quad \left(\tfrac{12}{7},\tfrac{3}{7}\right) ,$$

两条边往上岔开的方向分别是 $(-3,1)$（沿 $x+3y=3$）与 $(1,2)$（沿 $2x-y=3$）。沿 $(1,2)$ 走一步，$x+y$ 就涨 $3$，而两条约束一条变松、一条纹丝不动（$2x-y$ 保持是 $3$）——可以一直走下去。所以只有前两条时，$x+y$ 根本没有最大值。题目既然说最大值是 $9$，第三条边就必须把这个方向拦下来。

第三条边什么时候拦得住。 要拦的就是 $(1,2)$ 这一个方向。第三条约束写成 $x-my\geqslant-1$，沿方向 $(d_{x},d_{y})$ 走时它的左边每步变化 $d_{x}-m\,d_{y}$；取 $(1,2)$ 得

$$1-2m .$$

这个数 $\geqslant0$，说明沿 $(1,2)$ 走这条约束只会越来越松，拦不住；$<0$ 才会在某一步被顶住。于是

$$\text{封得住}\iff 1-2m<0\iff m>\tfrac12 .$$

四个候选里 $-2$ 与 $-1$ 都 $\leqslant\frac12$，$x+y$ 在这两档上没有最大值，（A）（B）当场出局；只有 $1$ 与 $2$ 过关。

图上把这件事画成了量得出来的一眼：把可行域敞开的两个方向 $(-3,1)$ 与 $(1,2)$ 整体搬到 $P$ 上，得到一个淡红的角。含参边的方向是 $(m,1)$——$m=-1$、$m=-2$ 时它横穿这个角，顺着区域敞开的方向走，自然拦不住谁；$m=1$、$m=2$ 时它从角外擦过去，才谈得上把区域剪断。（这张图只兑现了充分的那一半：横穿必定封不住。反过来不横穿也未必封得住——$m$ 小到 $-3$ 以下时，边虽躲开了那个角，整个角却落在它的可行侧，一样跑得掉。真正的判据还是上面那条 $1-2m<0$，四个候选恰好都被它判得干干净净。）

再把目标直线推过去。 $m>\frac12$ 时可行域是一个三角形，$x+y$ 的最大值在顶点上取到。把斜率 $-1$ 的目标直线朝右上平移，最后离开的是含参边与 $2x-y=3$ 的交点。$m=1$ 时这个交点是

$$\left\{\begin{aligned}x-y&=-1\\ 2x-y&=3\end{aligned}\right. \quad\Longrightarrow\quad (4,5) ,\qquad x+y=9 .$$

另两个顶点 $(0,1)$ 与 $\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$ 给出的是 $1$ 与 $\frac{15}{7}$，都小得多。最大值正是 $9$，答案 C。

解法二：只在那条边上算——把「求最大」变成「求 $y$ 的上界」

怎么想到的。 上一条解法里那个最优顶点始终落在同一条边 $2x-y=3$ 上：含参边只管把这条边从上面剪断，剪在哪儿由 $m$ 说了算。既然如此，不如干脆把目标函数限制在这条边上，看看它长什么样。

在 $2x-y=3$ 上有 $x=\dfrac{y+3}{2}$，于是

$$x+y=\frac{y+3}{2}+y=\frac{3(y+1)}{2} .$$

这条边上的 $x+y$ 只随 $y$ 单调递增。 于是「$x+y$ 的最大值」就是「这条边上 $y$ 能到多高」——一个二元的最值问题塌成了一元的上界问题。

含参边与它的交点：把 $x=my-1$ 代进 $x=\dfrac{y+3}{2}$，

$$my-1=\frac{y+3}{2} \quad\Longrightarrow\quad (2m-1)\,y=5 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{5}{2m-1} .$$

这一行同时回答了两个问题：

• 有没有上界：要这个交点真的在上面把边剪断，必须 $2m-1>0$，即 $m>\frac12$。$m\leqslant\frac12$ 时这条边一路向上不被剪断，$y$ 无上界，$x+y$ 也就没有最大值——（A）（B）两档正是栽在这里。
• 上界是几：代进上面那个式子，

$$(x+y)_{\max}=\frac{3(y+1)}{2}=\frac{3}{2}\left(\frac{5}{2m-1}+1\right)=9 .$$

解它：$\dfrac{5}{2m-1}+1=6$，即 $\dfrac{5}{2m-1}=5$，于是 $2m-1=1$，

$$m=1 .$$

代回验证（这一步不能省，方程只保证「那个交点上等于 $9$」）：$m=1$ 时可行域是顶点为 $(0,1)$、$\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$、$(4,5)$ 的三角形，三处的 $x+y$ 依次是 $1$、$\frac{15}{7}$、$9$，最大值确实是 $9$，取在 $(4,5)$。答案 C。

这条路多给了什么。 它把答案写成了 $m$ 的显式函数：

$$(x+y)_{\max}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2m+4}{2m-1}\qquad\left(m>\tfrac12\right),$$

从这个式子一眼看出：$m$ 从 $\frac12^{+}$ 增大时最大值从 $+\infty$ 一路降下来（$m=1$ 给 $9$，$m=2$ 给 $4$），所以满足题意的 $m$ 只有一个，不必担心漏解。

解法三：四个候选各代一次——先问有没有最大值，再问是几

怎么想到的。 这是选择题，四个候选就是四张现成的图。代入法在这里不但不笨，反而最稳：它不必把 $m$ 切成几段逐一去判，也不会漏掉「压根没有最大值」那一档——而那一档恰好占了两个选项。

（A）$m=-2$ 与（B）$m=-1$：没有最大值。 两档用同一个见证：从可行域里任取一点，沿方向 $(1,2)$ 一直走。这一路上

$$2x-y\ \text{保持不变}\ (2\cdot1-2=0),\qquad x+3y\ \text{变大},\qquad x+2y+1\ \text{与}\ x+y+1\ \text{也变大},$$

三条约束全都一直满足，而

$$x+y\ \text{每走一步涨}\ 3 ,$$

想多大有多大。区域无界还不够说明没有最大值，得像这样指出一个「沿着走目标函数一路涨」的方向——这正是「可行域无界当成目标函数没有最值」那一类误判的正解写法。

（D）$m=2$：有最大值，但只有 $4$。 三条边两两相交，交点是

$$\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right),\qquad \left(\tfrac{12}{7},\tfrac{3}{7}\right),\qquad \left(\tfrac{7}{3},\tfrac{5}{3}\right),$$

逐个验过都在可行域里，$x+y$ 依次是 $\frac{7}{5}$、$\frac{15}{7}$、$4$。最大值 $4\neq9$。

（C）$m=1$：最大值恰好是 $9$。 三个顶点 $(0,1)$、$\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$、$(4,5)$，$x+y$ 依次是 $1$、$\frac{15}{7}$、$9$。

四个候选一个过关，答案 C。

这条路多给了什么。 它把「无界」与「有界但不对」两种失败方式摆在同一张表里：（A）（B）错在根本没有最大值，（D）错在有最大值、但那个值不是 $9$。考场上若只记得「算顶点」，（A）（B）会被算成两个假顶点然后蒙混过关；先问一句「这块区域封住了吗」，两个选项当场就能划掉。