由线性规划的最值反求约束中的参数

题型说明

• 常见问法：「若实数 $x$，$y$ 满足 $\left\{\begin{aligned}&\cdots\\ &x-my+c\geqslant0\end{aligned}\right.$，且 $x+y$ 的最大值为 $M$，则 $m=$ ____」。
• 与由线性规划的最值反求参数刚好互为镜像： 那一类里可行域是死的、目标直线的斜率在转；这一类里目标直线的斜率是死的、可行域的一条边在转。
• 一句话抓住它：含参的那条边一定绕一个定点转。把 $x-my+c\geqslant0$ 的边界写成 $x+c=my$，无论 $m$ 取什么，$(-c,0)$ 都在上面——这条边是过定点的一族直线（除去与 $y$ 轴平行的那一条）。

三个入口

• 先定边，再定点：先判断最优顶点落在哪两条边的交点上（多半是不含参的那两条边里的一条 与含参边的交点），把交点用 $m$ 表出，令目标函数在那里等于 $M$，解一个关于 $m$ 的方程。最短。
• 沿最优边参数化：把目标函数限制在那条不含参的边上，写成单变量的式子（例如在 $2x-y=3$ 上 $x+y=\frac{3(y+1)}{2}$），于是「求最大值」变成「求那条边上纵坐标的上界」，含参边只管提供上界。
• 逐个选项代入：选择题里最稳的一条——四个候选值各代一次，各自算出最大值（或判定没有最大值）， 与题面对表。慢，但不需要任何分类讨论，也不会漏掉「根本没有最大值」的那一档。

这类题的关口

• 先问「有没有最大值」，再问「最大值是几」。含参边转到某些角度时根本封不住可行域，目标函数 在那一档上没有最大值——这一档常常正好占掉两个选项，见 可行域无界当成目标函数没有最值。 判据：把含参边的方向与另两条边围出的张口比一比，方向落在张口里就封不住。
• 含参边的不等号指向哪一侧要盯住。$x-my+c\geqslant0$ 保留的是含 $(-c,0)$ 那一侧还是另一侧， 随 $m$ 的符号会翻面，翻面之后可行域可能变成空集或另一块。
• 解出的参数要回代画一次。方程解出的 $m$ 只保证「那个交点上取到 $M$」，还得确认在这个 $m$ 下 其余顶点没有超过 $M$、而且那个交点真的落在可行域里。
• 别把「边过定点」忘了。定点是这类题的骨架：四个候选值只是同一束直线的四个角度， 画一张图就能一次看清谁封得住、谁封不住。