可行域无界当成目标函数没有最值

有界闭的可行域上，线性目标函数最大值最小值都有；这条印象反过来用就成了坑：区域一无界，就断定 $z$ 没有最值、取值范围是 $(-\infty,+\infty)$。

这是把「区域往哪个方向伸得没有尽头」和「$z$ 往哪个方向没有拦住」当成了同一件事。它们不是同一件事——区域伸向哪儿是几何，$z$ 涨还是跌是目标函数说了算。

正确的判法：从角点沿每条边各走一步

设可行域在角点 $P$ 处由两条边围成，两条边的方向向量是 $\vec{d_1},\vec{d_2}$（都指向区域内部）。目标 $z=ax+by$ 沿一个方向 $\vec d=(d_x,d_y)$ 走单位参数时的变化量是

于是：

• 两个都为正 → 从 $P$ 出发无论沿哪条边挪，$z$ 都变大 ⇒ $P$ 给最小值，上方没有拦住，范围形如 $[z_P,+\infty)$；
• 两个都为负 → 对称地，$P$ 给最大值，范围形如 $(-\infty,z_P]$；
• 一正一负 → 两头都没拦住，这才轮到 $(-\infty,+\infty)$。

无界区域落进前两种是常事，$(-\infty,+\infty)$ 只是三种里的一种。不算这两个数就选它，等于三选一里蒙了一个。

端点是闭的，别写成开的

判出 $P$ 给最小值之后还有半步：那个端点取得到（$P$ 自己就在可行域里），所以范围是 $[z_P,+\infty)$ 而不是 $(z_P,+\infty)$。同一份选项里常把这两个都摆上。

反过来还要确认 $[z_P,+\infty)$ 里的每个数都取得到，而不只是「下界是 $z_P$、上不封顶」——沿着一条边从 $P$ 往外走，$z$ 是连续变化且要多大有多大的，故这条射线上就把 $[z_P,+\infty)$ 走了个遍。少了这半句，严格说来只证到「$z\ge z_P$」，还差「每个值都够得着」。

一个反向的提醒

同样地，别因为区域有界就不看方向：有界时最大最小都存在，但具体落在哪个顶点仍要靠平移方向或逐点代入定，跟无界与否无关。