浙江 2013 · 数学 q13

冷启动：可行域是死的，目标直线的斜率是活的

$z=kx+y$，约束是

$$\begin{cases} x+y-2\geqslant0,\\ x-2y+4\geqslant0,\\ 2x-y-4\leqslant0, \end{cases}$$

已知 $z$ 的最大值是 $12$，求 $k$。

第一件事：约束里没有 $k$。 所以可行域画一次就够，三条边两两相交给出三个顶点：

• $\begin{cases}x-2y+4=0\\2x-y-4=0\end{cases}\Rightarrow A(4,4)$；
• $\begin{cases}x+y-2=0\\x-2y+4=0\end{cases}\Rightarrow B(0,2)$；
• $\begin{cases}x+y-2=0\\2x-y-4=0\end{cases}\Rightarrow C(2,0)$。

三个点都满足全部三条约束，可行域就是这个有界的三角形 $ABC$（不必担心「无界所以没有最大值」那一档）。

第二件事：$k$ 只出现在目标函数里。 把 $z=kx+y$ 写成 $y=-kx+z$， 它是一族斜率为 $-k$、纵截距为 $z$ 的平行线；$k$ 未知，就等于这族线的倾斜方向未知。 「最大值在哪个顶点取到」于是不是能一眼看出来的事——它是要算的，不是能画的。

第三件事：只需要三个数。 由最优解在可行域顶点， 最大值必是下面三者之一：

$$z(A)=4k+4,\qquad z(B)=2,\qquad z(C)=2k .$$

整道题从此只剩「这三条关于 $k$ 的直线，谁在上面」这一个问题。

解法一：原卷路线——按 $-k$ 与边 $AB$ 的斜率比大小，分 $k>-\frac12$ 与 $k\leqslant-\frac12$ 两类

目标直线 $y=-kx+z$ 往上平移时 $z$ 变大，所以最后离开可行域的顶点给出最大值。 离开哪个顶点，取决于斜率 $-k$ 与三角形各边斜率的相对大小。

$AB$ 的斜率是 $\dfrac{4-2}{4-0}=\dfrac12$，$AC$ 的斜率是 $\dfrac{4-0}{4-2}=2$，$BC$ 的斜率是 $-1$。

• $-k<\dfrac12$，即 $k>-\dfrac12$：目标直线比 $AB$ 平，往上推时最后碰到的是 $A$， 于是 $z_{\max}=4k+4$。令 $4k+4=12$ 得 $k=2$，而 $2>-\dfrac12$，这一支自洽。
• $-k\geqslant\dfrac12$，即 $k\leqslant-\dfrac12$：目标直线比 $AB$ 陡（或与之平行）， 最后离开的是 $B$，于是 $z_{\max}=2$。令 $2=12$ 无解，这一支空。

综上 $k=2$。

原卷欠的一句话

原卷从头到尾没有提第三个顶点 $C(2,0)$。它确实永远当不了最大值点——要让 $z(C)=2k$ 同时不小于 $z(A)=4k+4$ 与 $z(B)=2$，需要 $2k\geqslant4k+4$ 与 $2k\geqslant2$， 即 $k\leqslant-2$ 与 $k\geqslant1$，不可能同时成立。但这句话得写出来， 否则「两类穷尽了所有情况」就没有依据。

解法二：三个顶点各令一次等于 $12$，再回代验它真是最大——$k=6$ 就死在这一步

不比斜率，直接把三个候选值挨个试一遍。

• $z(A)=4k+4=12\Rightarrow k=2$。回代：$z(A)=12$、$z(B)=2$、$z(C)=4$，最大的确是 $12$。留。
• $z(B)=2=12$，方程无解。弃。
• $z(C)=2k=12\Rightarrow k=6$。回代：$z(A)=4\times6+4=28>12$，最大值是 $28$ 不是 $12$。弃。

只剩 $k=2$。

第三条那个 $k=6$ 是这道题唯一的坑。 它满足「有一个顶点的值等于 $12$」， 却不满足「$12$ 是最大值」。只令一个顶点等于 $12$ 就交卷，就会多出这个增根； 反过来，若一开始就凭一张画好的图断言「最大值在 $A$」，则连这个坑长什么样都看不到—— 那正是含参目标函数把最优顶点当固定。

这条路的好处是不需要判断最优顶点归谁，代价是要老实回代。

解法三：上包络——$M(k)=\max\{4k+4,\ 2k,\ 2\}$ 是一条不降的折线，水平线 $12$ 只能交它一次

把 $k$ 当自变量，三个顶点值就是三条直线：

$$\ell_A:\ z=4k+4,\qquad \ell_C:\ z=2k,\qquad \ell_B:\ z=2 .$$

最大值函数 $M(k)=\max\{4k+4,2k,2\}$ 是这三条线的上包络。三条线的斜率分别是 $4$、$2$、$0$， 都不是负的，所以 $M$ 单调不减；又 $4k+4$ 在 $k>-\dfrac12$ 上严格增，$M$ 在那一段严格增。 具体地

$$M(k)=\begin{cases}2, & k\leqslant-\dfrac12,\\[2mm] 4k+4, & k>-\dfrac12 .\end{cases}$$

（$2k$ 从未露头，正是解法一末尾那句话的图形版本。）

水平线 $z=12$ 与这条折线只能交一次，交点在 $4k+4=12$ 上，即 $k=2$。

这条路顺手回答了”解唯一吗”。 前两条路都只是「找到了 $k=2$、别的都被排除」， 而画出 $M$ 之后，唯一性是读出来的：不降的折线与水平线至多交于一段，而这里那一段退化成一个点。 换个给定值也一样读：给 $z_{\max}=M_0$，则 $M_0>2$ 时唯一解 $k=\dfrac{M_0-4}{4}$， $M_0=2$ 时有一整条射线 $k\leqslant-\dfrac12$，$M_0<2$ 时无解。

解法四：不分类——「最大值是 $12$」拆成三条 $\leqslant12$ 加一个取等

「$z$ 的最大值是 $12$」这句话，本身等价于两件事：

$$\underbrace{z(A)\leqslant12,\quad z(B)\leqslant12,\quad z(C)\leqslant12}_{\text{$12$ 是上界}} \qquad\text{且}\qquad \underbrace{\text{三者中至少有一个}=12}_{\text{上界够得着}} .$$

上界那一半给出

$$4k+4\leqslant12,\qquad 2\leqslant12,\qquad 2k\leqslant12 \ \Longrightarrow\ k\leqslant2 .$$

取等那一半给出候选 $k=2$（来自 $\ell_A$）、无解（来自 $\ell_B$）、$k=6$（来自 $\ell_C$）。 两半取交：$k=6$ 不满足 $k\leqslant2$，被上界那一半直接筛掉，只剩

$$k=2 .$$

全程没有分类、没有画图、没有比斜率，而解法二里那句「回代验证」在这里被前一半自动完成了。 这个拆法对最小值、对非线性但候选点有限的目标都照搬， 见最值给定拆成不等式组加取等。

四条路怎么选

考场上：填空题直接走路四，三行内出答案；若要在解答题里写，用路一落笔（阅卷按分类给分）， 再用路二的回代当自检。路三值得单画一次——把「最大值」看成参数的函数， 是所有含参最值问题的通用视角，不止线性规划。

一句话带走

目标函数带参数时，「最大值在哪个顶点」是结论不是前提。 老实做法只有两种： 要么把顶点值写成参数的函数再比大小（路一、路三），要么绕开这个问题， 用「都不超过 $12$ 且有一个等于 $12$」直接刻画（路四）。 这道题的增根 $k=6$ 就守在「只令一个顶点等于 $12$、不管别的」那条捷径上。