浙江 2021 · 数学 q05

读题：三条约束围一块区域，求目标函数的最小值

题目给了三个线性不等式：

$$\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 2x + 3y - 1 \leq 0 \end{cases}$$

它们各自表示一条直线的一侧（半平面），三者的公共部分围出一块有界区域——可行域。目标函数 $z = x - \dfrac{1}{2}y$ 是线性的，而可行域是有界闭区域，所以最值一定在某个顶点处取得。

解法一：平移目标直线

怎么想到的。 目标函数 $z = x - \dfrac{1}{2}y$ 里有 $x$ 和 $y$ 两个变量，直接看不出 $z$ 什么时候最小。把它改写成关于 $y$ 的直线方程：

$$y = 2x - 2z$$

这是一族斜率固定为 2 的平行线，不同的 $z$ 值对应不同的纵截距 $-2z$。于是「求 $z$ 的最小值」变成了「把这族直线平移，看它在可行域上能取到多大的截距」——截距 $-2z$ 越大，$z$ 越小。

第一步：画出可行域，求出三个顶点

三条边界直线分别是：

• $x = -1$（竖直线）
• $y = x$（过原点、斜率 1）
• $2x + 3y - 1 = 0$，即 $y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}$（斜率 $-\dfrac{2}{3}$）

两两联立求交点：

• $x = -1$ 与 $y = x$：顶点 $(-1,\,-1)$
• $x = -1$ 与 $2x + 3y - 1 = 0$：代入得 $-2 + 3y - 1 = 0$，$y = 1$，顶点 $(-1,\,1)$
• $y = x$ 与 $2x + 3y - 1 = 0$：代入得 $5x = 1$，$x = \dfrac{1}{5}$，顶点 $\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{5}\right)$

第二步：比较斜率，判断最值在哪个顶点

目标直线斜率为 2。把它从截距很小（$z$ 很大）的位置往上平移，截距 $-2z$ 逐渐增大（$z$ 逐渐减小）。直线最后离开可行域的那个顶点，就给出 $z$ 的最小值。

斜率 2 比边界 $y = x$ 的斜率 1 更陡，比 $y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}$ 的斜率 $-\dfrac{2}{3}$ 也更陡。从下方平移上来时，最后与可行域相切的顶点是 $(-1,\,1)$——它是可行域中「最高且最左」的点。

第三步：代入求值

$$z = -1 - \frac{1}{2}\times 1 = -\frac{3}{2}$$

解法二：顶点代入比较

怎么想到的。 定理「最优解在可行域顶点」告诉我们：线性目标函数在有界闭可行域上的最值一定在顶点处取得。可行域只有三个顶点，逐个代入 $z$ 再比大小就行——不必画图判断斜率。

三个顶点（同解法一所求）：$(-1,\,-1)$、$(-1,\,1)$、$\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{5}\right)$。

逐一代入 $z = x - \dfrac{1}{2}y$：

三者中最小的是 $-\dfrac{3}{2}$。

答案 B。 $z$ 的最小值为 $-\dfrac{3}{2}$，在顶点 $(-1, 1)$ 处取得。

本题的坑：目标函数改写成 $y = 2x - 2z$ 后，截距是 $-2z$ 而不是 $z$——截距最大时 $z$ 反而最小。别把方向搞反。