浙江 2021 · 数学 q05

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2021 · 数学 q05 原卷截图（含答案）

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题面

  1. 若实数 x,yx, y 满足约束条件 {x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0\left\{\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 2x + 3y - 1 \leq 0 \end{array} \right.，则 z=x−12y的z = x - \frac{1}{2} y^{\text{的}} 最小值是（）
    A. -2 B. −32-\frac{3}{2} C. −12-\frac{1}{2} D. 110\frac{1}{10}

答案

B

解析

分析

画出满足条件的可行域，目标函数化为 y=2x−2zy = 2x - 2z，求出过可行域点，且斜率为2的直线在 yy 轴上截距的最大值即可.

画出满足约束条件 {x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0\left\{\begin{aligned}x+1&\geq0\\ x-y&\leq0\\ 2x+3y&-1\leq0\end{aligned}\right. 的可行域，

如下图所示:

目标函数 z=x−12yz = x - \frac{1}{2} y 化为 y = 2x - 2z，

由 {x=−12x+3y−1=0\left\{\begin{aligned}x&=-1\\ 2x+3y&-1=0\end{aligned}\right. ，解得 {x=−1y=1\left\{\begin{aligned}x&=-1\\ y&=1\end{aligned}\right. ，设 A(−1,1)A(-1,1) ，

当直线 y = 2x - 2z 过 A 点时，

z=x−12yz = x - \frac{1}{2} y 取得最小值为 −32-\frac{3}{2}.

故选：B