浙江 2009 · 数学 q16

冷启动：先把「一种站法」到底是什么说清楚

题面三句话，每一句都在定义「一种站法」：

• 甲、乙、丙 $3$ 人 —— 人有区别，交换甲乙得到的是另一种站法。
• 共有 $7$ 级的台阶 —— 位置有区别，第 $2$ 级和第 $5$ 级不是一回事。
• 同一级台阶上的人不区分站的位置 —— 同一级内部无序。两人都在第 $3$ 级，「甲左乙右」与「乙左甲右」算同一种。

把三句合起来：

一种站法 $=$ 一张「谁站第几级」的名单。

也就是一个从 $\{\text{甲},\text{乙},\text{丙}\}$ 到 $\{1,2,\dots,7\}$ 的对应。唯一的限制是没有哪一级被三个人同时选中（每级最多 $2$ 人，而总共才 $3$ 人——所以违规的情形只有「三人同级」这一种，这一点是解法二的全部本钱）。

解法一：按「每级站几人」分成两型

$3$ 个人分到各级上，每级至多 $2$ 人，那么「各级各站几人」只可能是两型：

$$3=1+1+1\qquad\text{或}\qquad 3=2+1 .$$

这两型天然不重不漏——一种站法把每级站了几人唯一确定下来，而两型给出的数量清单不同，所以每种站法恰好落进一型。选它当分类的轴，就省掉了「会不会重、会不会漏」的论证。

① $1+1+1$ 型：三人各占一级。 从 $7$ 级里挑 $3$ 级，再把三个人排给这三级：

$$A_7^3=7\times6\times5=210 .$$

（也可以写成 $\mathrm{C}_7^3\cdot3!=35\times6=210$，同一件事。）

② $2+1$ 型：一级站 $2$ 人，另一级站 $1$ 人。 分两步：

• 先挑出单独站着的那个人：$\mathrm{C}_3^1=3$（剩下两人自动成为同级的那一对，不必再选）。
• 再给两级各选位置：「两人的那级」与「一人的那级」是两个不同的角色，所以是排列不是组合：$A_7^2=7\times6=42$。

$$\mathrm{C}_3^1\cdot A_7^2=3\times42=126 .$$

这里不能再乘 $2!$。 题面明写「同一级台阶上的人不区分站的位置」——那一级内部无序。乘上 $2!$ 会得到 $252$，把每种站法数了两遍。

③ 相加。

$$210+126=336 .$$

答案 $336$ 种。 这与官方解析写的 $A_7^3+\mathrm{C}_3^1A_7^2$ 是同一串式子。

解法二：正难则反——先不管上限，再挖掉三人同级的那 $7$ 种

① 去掉限制，总数一眼可得。 若不管「每级最多 $2$ 人」，每个人独立地挑一级，互不影响：

$$7\times7\times7=7^3=343 .$$

② 违规的只有一种形状。 违规 $=$ 某一级站了 $\geqslant3$ 人。可总共只有 $3$ 个人，所以「某级站 $\geqslant3$ 人」只能是「三人全站在同一级」。这样的站法按那一级是第几级数：

$$7\ \text{种} .$$

这一步是这条路的全部关键，也是它的适用边界：上限 $2$ 恰好等于人数减一，违规的情形才只有一类——一类就是一个减法，连分类都省了。若题目改成 $5$ 人 $7$ 级、每级最多 $2$ 人，违规就要按「某级站 $3$ 人 / $4$ 人 / $5$ 人」分成好几类各数一遍（好在人不够，不可能有两级同时超员，仍不必做容斥），这条路立刻没那么便宜了。

③ 相减。

$$343-7=336 .$$

答案 $336$ 种，与解法一分毫不差。

④ 为什么可以直接减。 全体站法（$343$ 种）被「合法」与「违规」切成互不相交的两块，合法那块就是全体减去违规那块——这就是补集。两边都算过一遍且对上了，等于互相验了一次。

解法三：先甲后乙，到丙时按甲乙是否同级分两类

想一个人一个人地安排：甲有 $7$ 种选法，乙有 $7$ 种选法，丙有……丙有几种要看甲乙站哪。分步乘法要求「每一步的方法数与前面无关」，这里被破坏了，所以在破坏处切一刀。

① 甲乙同级。 这样的 $(\text{甲},\text{乙})$ 共 $7$ 种（同在第几级）。这一级已经满员，丙只能挑剩下的 $6$ 级：

$$7\times6=42 .$$

② 甲乙异级。 这样的 $(\text{甲},\text{乙})$ 共 $7\times6=42$ 种。此时两级各只站一人，都没满，丙哪一级都能站：

$$42\times7=294 .$$

③ 相加。 两类按「甲乙是否同级」划分，显然不重不漏：

$$42+294=336 .$$

答案 $336$ 种。

④ 这条路的价值。 它不需要先看出「分布型只有两种」，也不需要「违规只有一类」这个巧合；只要发现某一步开始依赖前面，就在那里切一刀。代价是要重新数各类里前几步的方法数（「甲乙同级」只有 $7$ 种，不是 $7\times7$）——这是本路最常见的漏算处。

三条路的分工

三个式子长得完全不一样，算出来都是 $336$——这是本题最便宜的一次自检。

最后：两处最容易丢分的地方

• 给同级的两人再排一次顺序（$126\to252$）。题面那句「不区分站的位置」就是防这个的。读题时把每一处标上「有序 / 无序」再动笔。
• 把「$2+1$ 型」的两级当成没有区别（$A_7^2\to\mathrm{C}_7^2$，$126\to63$）。「站两人的那级」与「站一人的那级」角色不同，必须用排列数。