浙江 2023 · 数学 q13

冷启动：把限制翻译成「每类取几个」

体育 $4$ 门、艺术 $4$ 门，共选 $2$ 或 $3$ 门，且每类至少 $1$ 门。限制「每类至少 $1$」最自然的翻译是去看「体育取几门、艺术取几门」的分配：选 $2$ 门只能是 $(1,1)$；选 $3$ 门是 $(2,1)$ 或 $(1,2)$。这是一条直接分类的路。另一条路反过来想：先不管「每类至少 $1$」，数出随便选 $2$/$3$ 门的总数，再减掉「全挤在同一类」的那些——补集思想。

解法一：按选课门数直接分类

怎么想到的。 既然每类至少 $1$ 门，把「体育 $s$ 门、艺术 $t$ 门」的合法配对 $(s,t)$ 列全，每对用分步乘法 $C_4^s C_4^t$，再相加——这就是分类讨论，关键是类要不重不漏。

选 $2$ 门：只有 $(1,1)$，

$$C_4^1 C_4^1 = 4\times 4 = 16$$

选 $3$ 门：$(2,1)$ 与 $(1,2)$ 两类，

$$C_4^2 C_4^1 + C_4^1 C_4^2 = 6\times 4 + 4\times 6 = 24 + 24 = 48$$

合计 $16 + 48 = 64$。

解法二：用补集思想间接排除

怎么想到的。 「每类至少 $1$ 门」的反面是「两门（或三门）全来自同一类」。全同类的选法很好数，于是用总数减它（补集思想：合规 $=$ 全体 $-$ 全同类）。

选 $2$ 门：无限制 $C_8^2=28$，全同类 $C_4^2+C_4^2=6+6=12$，

$$28 - 12 = 16$$

选 $3$ 门：无限制 $C_8^3=56$，全同类 $C_4^3+C_4^3=4+4=8$，

$$56 - 8 = 48$$

合计 $16 + 48 = 64$，与解法一吻合。

这两条路差在哪。 解法一正面数「合规的」，思路直接，但要自己把 $(s,t)$ 配对列全、保证不漏。解法二绕到反面数「不合规的」再减，当合规情形比不合规多时反而更省事——本题两种差不多，但间接法的好处是自动避开了「漏掉 $(1,2)$」这类失误，因为总数 $C_8^3$ 一开始就把所有选法都算进去了。两条路在 $64$ 上互相印证，正好拿来查错。

🕳️ 避坑

• 分类务必不重不漏（见分类计数重复或遗漏）：选 $3$ 门时 $(2,1)$ 和 $(1,2)$ 是两类，只写一类直接少算 $24$。
• 间接法减的对象要恰好是「全同类」：别把「每类至少 $1$」的补集搞错，也别多减一层。

故不同的选课方案共有 $\boxed{64}$ 种。