定住最小值再从更大的里挑

解题套路

要数出「所取号码的最小值恰好是 $k$」的取法数，把条件拆成两句话：

1. 至少取到一个号码 $k$——不然最小值到不了 $k$；
2. 其余的一律来自「严格大于 $k$」的那一堆——只要混进一个小于 $k$ 的，最小值就被它抢走了。

设号码为 $k$ 的对象有 $t$ 个、号码大于 $k$ 的有 $B$ 个，取 $m$ 个，则

$t=1$ 时它就退化成一句话：$\mathrm{C}_B^{\,m-1}$——那一个 $k$ 必取，剩下 $m-1$ 个从更大的里挑。

两种数法二选一

• 补集法（左式）：在「不小于 $k$」的池子里随便取，减掉「一个 $k$ 都没取到」的。$t$ 大时更省。
• 分类法（右式）：按取到 $j$ 个 $k$ 分类相加。$t$ 小（$1$ 或 $2$）时更直观，也是课本答案常用的写法。

两者必然相等，算完对一下是免费的自查。

关键是那句「严格大于」

「其余从更大的里挑」里的更大是严格的：号码等于 $k$ 的可以再取（它不改变最小值），号码小于 $k$ 的一个都不能有。把池子划错，是这一步唯一的失手处。

最大值型对称照搬：定住最大值，其余从严格小于它的里面挑。