浙江 2023 · 数学 q10

冷启动：先把表里的分贝读出来

题给声压级模型 $L_p=20\lg\dfrac{p}{p_0}$（$p_0>0$ 是听觉下限，$p$ 是实际声压），以及一张表（见题解图）：

记三者声压为 $p_1,p_2,p_3$。模型可反解：$L=20\lg\dfrac{p}{p_0}\ \Rightarrow\ \dfrac{p}{p_0}=10^{L/20}\ \Rightarrow\ p=p_0\cdot 10^{L/20}$。因为对数函数（与它的反函数 $10^x$）是增的，分贝大 $\Leftrightarrow$ 声压大。两条路：一条把分贝区间还原成声压区间再比，另一条干脆留在分贝上比。

解法一：反解声压区间再比端点

怎么想到的。 把每个分贝区间用 $p=p_0\cdot 10^{L/20}$ 映回声压（以 $p_0$ 为单位），得到三声压的范围：

（注意 $90/20=\dfrac{9}{2}$、$50/20=\dfrac{5}{2}$，别把指数算成整数。）然后逐项比端点——「恒成立」要看最不利的那一端：

• A $p_1\ge p_2$：$p_1$ 最小 $=10^3p_0$，$p_2$ 最大 $=10^3p_0$，故 $p_1\ge 10^3p_0\ge p_2$ 恒成立。✓
• B $p_2>10p_3$：$10p_3=1000p_0=10^3p_0$，而 $p_2\le 10^3p_0$，永远不大于。✗
• C $p_3=100p_0$：恰好相等。✓
• D $p_1\le 100p_2$：$p_1$ 最大 $=10^{\frac{9}{2}}p_0$；$100p_2$ 最小 $=100\cdot 10^{\frac{5}{2}}p_0=10^{\frac{9}{2}}p_0$，故 $p_1\le 10^{\frac{9}{2}}p_0\le 100p_2$ 恒成立。✓

解法二：留在分贝刻度上换算比较

怎么想到的。 既然 $p$ 乘 $10$ 就让 $L$ 加 $20$、乘 $100$ 加 $40$（对数尺度倍数与加分贝的换算记错），那带倍数的比较可以整体搬到分贝上做加法，连 $10^{9/2}$ 这种数都不用碰。把每条选项翻译成分贝不等式（$p_1\!\sim\![60,90]$、$p_2\!\sim\![50,60]$、$p_3=40$）：

• A $p_1\ge p_2\ \Leftrightarrow\ L_1\ge L_2$：取最不利 $60\ge 60$，成立。✓
• B $p_2>10p_3\ \Leftrightarrow\ L_2>L_3+20=60$：$L_2$ 最大才 $60$，不大于。✗
• C $p_3=100p_0\ \Leftrightarrow\ L_3=40$：表中正是 $40$。✓
• D $p_1\le 100p_2\ \Leftrightarrow\ L_1\le L_2+40$：取最不利 $90\le 50+40=90$，成立。✓

这两条路差在哪。 解法一是「翻译到底」：把分贝全还原成声压，得到 $10^{9/2}$ 这种带半分指数的区间，再老老实实比端点——通用、不易错，但要算分数指数。解法二是「原地比较」：抓住「乘 $10$ 加 $20$ dB」这把尺，把乘法比较变成加法比较，$90\le 50+40$ 一眼就看完了——更快，但前提是你没把 $+20$ 记成 $+10$。两条路在 ACD 上完全一致。

🕳️ 避坑

• 乘 $10$ 是 $+20$ dB，不是 $+10$——模型前面的系数是 $20$，别按强度级的 $10$ 记（见对数尺度倍数与加分贝的换算记错）。
• 比「恒成立」端点别取反：要证 $p_1\ge p_2$，拿 $p_1$ 的下界对 $p_2$ 的上界；要证 $p_1\le 100p_2$，拿 $p_1$ 的上界对 $100p_2$ 的下界。
• 指数 $90/20=\dfrac{9}{2}$、$50/20=\dfrac{5}{2}$，不是 $9$、$5$。

对照选项 A. $p_1\ge p_2$、B. $p_2>10p_3$、C. $p_3=100p_0$、D. $p_1\le 100p_2$，故选 ACD。