浙江 2022 · 数学 q01

冷启动：两个词就够了

假设你完全没学过集合。这道题要用的全部知识就是下面两个词。

① 集合与元素。 把一些确定的、互不相同的对象放在一起、当成一个整体看，这个整体就是一个集合；里面的每个对象叫元素。本题的两个集合都用列举法给出——把元素一个个写在花括号里，$A=\{1,2\}$、$B=\{2,4,6\}$，谁在里面一眼看完。

「互不相同」这四个字待会儿要用上：一个集合里不会出现两个一样的元素。写成 $\{2,2,4\}$ 是不规范的，它就是 $\{2,4\}$。

② 并集。 两个集合 $A$、$B$ 的并集 $A\cup B$，是「在 $A$ 里，或在 $B$ 里」的元素凑成的集合。

这里的「或」是数学里的可兼或——不是「二选一」，而是「至少占一边就行」。所以既在 $A$ 又在 $B$ 的元素（本题的 $2$）照样进并集，它没有被排斥，只是按上面那条互异性，在名单上只出现一次。

一句话记住它：并集就是把两张名单合成一张，重名的只留一个。

题目问 $A\cup B$ 是谁，翻成人话就是：把 $\{1,2\}$ 和 $\{2,4,6\}$ 两张名单合起来，最后名单上有谁？

解法一：按定义合名单

怎么想到的。 定义直接说了并集是什么——「在 $A$ 里或在 $B$ 里」。既然两个集合都是列举法、元素总共才五个，那就逐个点名：把每个元素挨个问一遍「你符不符合『在 $A$ 里或在 $B$ 里』」，符合的抄进结果。这是最笨也最不会错的做法，而且它算出的是 $A\cup B$ 本身，不依赖选项。

① 把两张名单上的名字都列出来。 $A$ 上有 $1,2$；$B$ 上有 $2,4,6$。两张单子一共占了 $5$ 个名额，但 $2$ 在两边各占了一个，所以不同的名字只有 $4$ 个：$1,2,4,6$。

候选就到此为止了——并集只收「在 $A$ 里或在 $B$ 里」的元素，两张单子上都没有的名字一个也进不来，所以这四个就是全部候选，不会漏。

② 逐个过并集的定义。

• $1$：在 $A$ 里 ✓ → 进；
• $2$：在 $A$ 里 ✓（顺便在 $B$ 里也 ✓）→ 进；
• $4$：不在 $A$ 里，但在 $B$ 里 ✓ → 进；
• $6$：不在 $A$ 里，但在 $B$ 里 ✓ → 进。

四个候选一个都没被刷掉——这是并集的常态：它只会把集合变大，不会变小。

③ 写出结果，重名的只写一次。 $2$ 在第 ② 步只被判了一次「进」，所以名单上就有一个 $2$：

$$A\cup B=\{1,2\}\cup\{2,4,6\}=\{1,2,4,6\}$$

一共 $4$ 个元素——注意不是 $2+3=5$ 个。两张名单加起来五个名额，$2$ 占了两个名额却只算一个人，所以少了一个。

④ 对照选项。 四个选项里只有 D 是 $\{1,2,4,6\}$，故选 D。

解法二：用「并集必含两边」筛选项

怎么想到的。 上一条路把 $A\cup B$ 整个算了出来。但选择题只要求认出那个正确选项，不一定非得把它算出来——如果能找到一条正确答案必须满足的性质，拿它去刷选项，往往比正算更快。这类做法叫排除法：不证明谁对，只证明谁不可能对。

这道题现成就有这样一条性质：并集是「或」，$A$ 里的元素当然满足「在 $A$ 里」，$B$ 里的元素当然满足「在 $B$ 里」。所以

$$A\subseteq A\cup B\quad\text{且}\quad B\subseteq A\cup B$$

翻成人话：$A$ 和 $B$ 的每一个元素，都必须出现在答案里。 这是一条必要条件——正确选项必须通过它，通不过的直接出局。

① 拿 $A$ 的元素刷一遍。 $A=\{1,2\}$，所以答案里必须有 $1$：

• A. $\{2\}$——没有 $1$，出局；
• B. $\{1,2\}$——有 $1$，留；
• C. $\{2,4,6\}$——没有 $1$，出局；
• D. $\{1,2,4,6\}$——有 $1$，留。

② 拿 $B$ 的元素再刷一遍。 $B=\{2,4,6\}$，所以答案里必须有 $4$（有 $6$ 也一样能刷）：

• B. $\{1,2\}$——没有 $4$，出局；
• D. $\{1,2,4,6\}$——有 $4$，留。

③ 只剩一个，就是它。 四个选项被刷掉三个，只有 D 活到最后。选择题「有且只有一个正确选项」，故答案是 D。

注意这一步的力气全花在 A、B、C 三项各自违反了必要条件上——$A$ 缺 $1$、$C$ 缺 $1$、$B$ 缺 $4$。至于 D 长什么样，其实不看也能定：三个都出局，剩下的那个只能是答案。上面顺手验了 D 含 $1$ 含 $4$，是当作一次交叉核对，不是必需的一步。

这条路的边界要说清楚。 排除法只证明了「若正确答案在选项里，它只能是 D」——它没有验证 $\{1,2,4,6\}$ 真的等于 $A\cup B$。筛子只查了一个方向（「必须含 $1$、含 $4$」），没查另一个方向（「会不会多含了什么」）。本题因为 $A$、$B$ 都已给定，$A\cup B$ 客观上就是那四个元素、不会多；但这条论证自己不知道这件事，它的结论只到「剩下的那个」为止。所以它是选择题里的加速手段，不是完整的证明：题目要是改成填空题「写出 $A\cup B$」，这条路就不够用，必须回到解法一去正算。

不过反过来说，这也正是它在考场上的价值所在：你不需要算完就能作答。而且顺带看清了三个干扰项各自的埋法——A 是 $A\cap B$（交集，只留了两边都有的 $2$），B 是 $A$ 自己，C 是 $B$ 自己。出题人把「你到底认不认得 $\cup$」这一件事，摆成了三种错法。

这两条路差在哪

• 解法一从定义出发，造出答案：不管有没有选项都能做，结论是完整的。
• 解法二从并集的一条性质出发，淘汰选项：不算出答案，只把不可能的排掉，速度快但依赖「选项里恰有一个对」。

两者依赖的东西不同（一个用定义逐元素判定，一个用包含关系 $A\subseteq A\cup B$ 作必要条件），推进方向也相反（一个正着造、一个反着删），所以是两条路，不是同一条推导的两种写法。考场上先用解法二秒选，再用解法一花十秒核一遍，是这类题的标准打法。

🕳️ 避坑

• 别把 $\cup$ 看成 $\cap$。 选项 A 的 $\{2\}$ 就是 $A\cap B$，专等记反的人。自查办法：并集只会变大（$A\subseteq A\cup B$），算完发现结果比 $A$ 还小，一定是记反了。
• 公共元素只写一次。 $\{1,2\}$ 与 $\{2,4,6\}$ 共五个名额，并集是 $4$ 个元素不是 $5$ 个。把个数当成「两边相加」的人，在改问「$A\cup B$ 有几个元素」时就会答 $5$。
• 答案不可能是 $A$ 或 $B$ 自己（除非一个是另一个的子集）。选项 B、C 原样抄了 $A$、$B$，看见就该警觉：并集把两边都装下，只抄一边一定漏。本题 $1\notin B$、$4\notin A$，两边互不包含，所以 B、C 一定错。
• 本题特有的一处：$A$ 的元素 $1$ 与 $B$ 的元素 $4,6$ 是各自独有的，正因如此「有没有 $1$」「有没有 $4$」才能当筛子用。换一道题若 $A\subseteq B$，这个筛子就一刀都刷不掉——那时只能回去老实合名单。