浙江 2008 · 数学 q11

冷启动：三点共线有三种写法，先看这三个点特殊在哪

三点 $A(1,-a)$、$B(2,a^{2})$、$C(3,a^{3})$ 共线，$a>0$，求 $a$。

先看横坐标：$1$、$2$、$3$。 三个横坐标两两不同，所以这三点不可能在同一条竖直线上—— 「共线」一定是「在同一条非竖直的直线上」，斜率的写法不会出现「不存在」的岔口。 而且它们是均匀的（相差都是 $1$），这一点在解法二里会直接变成一条捷径。

再看纵坐标：$-a$、$a^{2}$、$a^{3}$。 都是 $a$ 的幂（$-a$ 是一次的，带个负号）， 所以无论用哪种写法，最后都会得到一个关于 $a$ 的三次方程——三个根，而题目只要一个。 「$a>0$」这三个字就是用来筛根的，不能写完方程就交卷。

解法一：两条斜率相等

怎么想到的。 三点共线最直接的刻画：以其中一点为基准，另外两点看过去的方向相同。 方向用斜率量，于是「共线」就是「两条斜率相等」。

① 写出两条斜率。 横坐标两两不同（$1\neq2\neq3$），斜率都存在：

$$k_{AB}=\frac{a^{2}-(-a)}{2-1}=a^{2}+a, \qquad k_{BC}=\frac{a^{3}-a^{2}}{3-2}=a^{3}-a^{2}$$

（分母恰好都是 $1$——这是横坐标均匀带来的便利。）

② 令两者相等。

$$a^{2}+a=a^{3}-a^{2} \quad\Longrightarrow\quad a^{3}-2a^{2}-a=0 \quad\Longrightarrow\quad a\left(a^{2}-2a-1\right)=0$$

③ 解并筛根。 三个根：

$$a=0,\qquad a=1+\sqrt2,\qquad a=1-\sqrt2$$

（后两个来自 $a^{2}-2a-1=0$，即 $(a-1)^{2}=2$。） 题给 $a>0$：$a=0$ 不满足（要求是严格大于），$1-\sqrt2\approx-0.414<0$ 也不满足， 只剩

$$\boxed{a=1+\sqrt{2}}$$

④ 回代验一遍。 取 $a=1+\sqrt2$，则 $a^{2}=3+2\sqrt2$、$a^{3}=a\cdot a^{2}=(1+\sqrt2)(3+2\sqrt2)=7+5\sqrt2$。 三点是 $(1,\,-1-\sqrt2)$、$(2,\,3+2\sqrt2)$、$(3,\,7+5\sqrt2)$，相邻两点的纵坐标差：

$$(3+2\sqrt2)-(-1-\sqrt2)=4+3\sqrt2, \qquad (7+5\sqrt2)-(3+2\sqrt2)=4+3\sqrt2$$

两个差相等，横坐标的差又都是 $1$，所以斜率相同、三点确实共线 ✓。

解法二：横坐标恰是 $1,2,3$——共线就等于三个纵坐标成等差

怎么想到的。 横坐标 $1$、$2$、$3$ 是均匀的。若三点在同一条直线 $y=kx+m$ 上， 纵坐标就是 $k\cdot1+m$、$k\cdot2+m$、$k\cdot3+m$——相邻两项的差都是 $k$， 即三个纵坐标成等差数列。反过来也对：

$$\text{三个纵坐标成等差} \iff a^{2}-(-a)=a^{3}-a^{2} \iff \text{两段斜率相等（分母都是 }1) \iff \text{三点共线}$$

所以只需写一条「中间项是两端的平均」。

① 列式。 $B$ 的纵坐标是 $A$、$C$ 两个纵坐标的等差中项：

$$2a^{2}=(-a)+a^{3}$$

② 整理。

$$a^{3}-2a^{2}-a=0 \quad\Longrightarrow\quad a\left(a^{2}-2a-1\right)=0$$

③ 用 $a>0$ 取舍。 三个根 $0$、$1\pm\sqrt2$ 中只有 $1+\sqrt2>0$，故 $a=1+\sqrt{2}$。

④ 这条路省在哪。 不用写两个分式、不用讨论斜率是否存在——「等差中项」一句话就把共线兑换成了一条等式。 代价是它只在横坐标均匀时成立：若三点的横坐标是 $1,2,4$，纵坐标成等差就不等于共线了。 本题横坐标恰是 $1,2,3$，这条捷径才开得成。

解法三：向量共线的坐标条件

怎么想到的。 「共线」在向量语言里是 $\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{AC}$， 而两个平面向量平行有一条不含分式、不必讨论的坐标判据：$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$。 把点坐标化成向量（向量坐标化），一步就能写出方程。

① 写出两个向量。 按向量的坐标运算（终点减起点）：

$$\overrightarrow{AB}=(2-1,\ a^{2}+a)=(1,\ a^{2}+a), \qquad \overrightarrow{AC}=(3-1,\ a^{3}+a)=(2,\ a^{3}+a)$$

② 用平行的坐标条件。 $\overrightarrow{AB}=(x_{1},y_{1})$ 与 $\overrightarrow{AC}=(x_{2},y_{2})$ 平行 $\iff x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$：

$$1\cdot\left(a^{3}+a\right)-2\cdot\left(a^{2}+a\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad a^{3}-2a^{2}-a=0$$

③ 同样的三次方程，同样的取舍。 $a(a^{2}-2a-1)=0$，由 $a>0$ 得 $a=1+\sqrt{2}$。

④ 这条判据好在哪。 $x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$ 是一条多项式等式， 既不要求某个分量非零（不像 $\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}}$ 那样要先说明分母不为零）， 也不必先讨论「直线是不是竖直的」。凡是「三点共线」「两向量平行」，写这一条最省事。 （注意它说的是「平行」，不区分同向反向——但共线本来就不管方向，正合用。）

三条路回头看。 三条路写出来的是同一个三次方程 $a^{3}-2a^{2}-a=0$， 差别只在「共线」这句话被翻译成了什么：解法一翻成「斜率相等」（最通用，但要先确认斜率存在）； 解法二翻成「纵坐标成等差」（最快，但依赖横坐标均匀这个本题特有的巧合）； 解法三翻成「向量平行的坐标条件」（最稳，没有任何需要讨论的岔口）。

那个被筛掉的 $a=0$ 不是增根。 $a=0$ 时三点是 $(1,0)$、$(2,0)$、$(3,0)$， 它们真的共线（都在 $x$ 轴上）。换句话说，方程 $a^{3}-2a^{2}-a=0$ 一个多余的根也没有， 三个根对应三种真实的共线情形；是题面那句 $a>0$ 把 $a=0$ 与 $a=1-\sqrt2$ 挡在门外的。 所以这道题的「取舍」不是验根，而是读题。

🕳️ 避坑

• $a>0$ 不能忘。 三次方程有三个根，三个都让三点共线；只有 $1+\sqrt{2}$ 满足 $a>0$。 把 $a=0$ 当成增根「顺手丢掉」也不对——它是真根，只是被题设排除。
• $a\left(a^{2}-2a-1\right)=0$ 别两边同除以 $a$。 除掉 $a$ 等于默认 $a\neq0$， 本题恰好 $a>0$ 使这一步「碰巧」无害，但换成没有范围限制的题就会丢根。 要除，先说明为什么可以除。
• 解法二的捷径有前提。 「纵坐标成等差 $\iff$ 共线」只在横坐标成等差（本题是 $1,2,3$）时成立。 横坐标不均匀时，共线对应的是「纵坐标的差与横坐标的差成比例」，不是等差。
• $1-\sqrt2$ 是负数。 $\sqrt2\approx1.414>1$，所以 $1-\sqrt2\approx-0.414<0$。 写成 $1\pm\sqrt2$ 之后要真的判一下符号，别看见 $1$ 打头就以为两个都是正的。