浙江 2023 · 数学 q03

冷启动：垂直翻译成什么等式

已知 $\vec{a}=(1,1)$、$\vec{b}=(1,-1)$，条件是 $(\vec{a}+\lambda\vec{b})\perp(\vec{a}+\mu\vec{b})$，问 $\lambda,\mu$ 满足什么关系。

平面向量里「垂直」有一个坐标判据：两向量垂直，当且仅当它们对应坐标相乘再相加等于 $0$（即数量积为 $0$）。所以这题的本质就是把那两个组合向量塞进这个判据，得到一个关于 $\lambda,\mu$ 的等式。差别只在于：你是先把组合向量的坐标老老实实写出来，还是先看清 $\vec{a},\vec{b}$ 本身的结构、让交叉项自己消失。

解法一：写出组合坐标再点乘

怎么想到的。 坐标都给了，垂直又有现成的坐标判据，最稳的就是按向量坐标化那套：把 $\vec{a}+\lambda\vec{b}$、$\vec{a}+\mu\vec{b}$ 的坐标用向量的坐标运算算出来，再令点乘为 $0$。

① 算两个组合向量的坐标（数乘各分量、再相加）：

$$\vec{a}+\lambda\vec{b}=(1+\lambda,\ 1-\lambda),\qquad \vec{a}+\mu\vec{b}=(1+\mu,\ 1-\mu)$$

② 垂直 ⟹ 对应坐标相乘相加为 $0$：

$$(1+\lambda)(1+\mu)+(1-\lambda)(1-\mu)=0$$

③ 展开。两个括号各自展开：

$$(1+\lambda+\mu+\lambda\mu)+(1-\lambda-\mu+\lambda\mu)=0$$

注意 $\lambda,\mu$ 的一次项 $+\lambda+\mu$ 与 $-\lambda-\mu$ 正好抵消，常数 $1+1=2$，$\lambda\mu$ 出现两次：

$$2+2\lambda\mu=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda\mu=-1$$

解法二：用 a⊥b 与等长展开数量积

怎么想到的。 在动笔展开坐标之前，先看一眼 $\vec{a},\vec{b}$ 本身——这俩向量有个漂亮的事实：

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot1+1\cdot(-1)=0,\qquad |\vec{a}|^{2}=1^{2}+1^{2}=2,\qquad |\vec{b}|^{2}=1^{2}+(-1)^{2}=2$$

也就是 $\vec{a}\perp\vec{b}$、而且模长相等。有了这两条，$(\vec{a}+\lambda\vec{b})\cdot(\vec{a}+\mu\vec{b})$ 根本不用写坐标，照数量积的分配律展开成四项即可：

$$\vec{a}\cdot\vec{a}+\mu\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda\,\vec{b}\cdot\vec{a}+\lambda\mu\,\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|^{2}+(\lambda+\mu)(\vec{a}\cdot\vec{b})+\lambda\mu\,|\vec{b}|^{2}$$

中间那项因为 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ 整项消失，于是

$$2+0+2\lambda\mu=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda\mu=-1$$

这条路的妙处：它没碰过 $(1+\lambda,\,1-\lambda)$ 这种坐标，全靠「$\vec{a}\perp\vec{b}$ 让交叉项归零、$|\vec{a}|=|\vec{b}|$ 让系数对称」。换一道题，只要给的两个向量恰好正交且等长，这套化简照样秒杀。

这两条路差在哪。 解法一是无脑通用：不管 $\vec{a},\vec{b}$ 长什么样，写出组合坐标、套垂直判据、展开，必能算出来。解法二是看穿结构：先发现 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ 与 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，于是垂直条件里的 $(\lambda+\mu)$ 项自动没了，一步到位——它省的不只是计算，还顺便解释了「为什么答案里只有 $\lambda\mu$、没有 $\lambda+\mu$」。

🕳️ 避坑

• 垂直用数量积 $=0$（同位相乘相加 $x_1x_2+y_1y_2$）；别拿成平行的「交叉相乘 $x_1y_2-x_2y_1=0$」，记反了等式就全错。
• 展开时 $\lambda,\mu$ 的一次项应当正好抵消。若你算完还剩下 $\lambda+\mu$，多半是某个括号的符号展错了——干扰项 A、B 正是给这种手误预备的。
• 两个括号各贡献一个 $\lambda\mu$，加起来是 $2\lambda\mu$，别只记一个、把系数漏成 $1$。

对照选项 A. $\lambda+\mu=1$、B. $\lambda+\mu=-1$、C. $\lambda\mu=1$、D. $\lambda\mu=-1$，故选 D。