浙江 2023 · 数学 q03

题面

3．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知向量$\vec{\cdot a} = ( 1 , \ 1 ) , \ \vec{b} = ( 1 , \ - \ 1 )$）．若$( \vec{a} + \lambda \vec{b} ) \perp ( \vec{a} + \mu \vec{b} )$），则（ ）A．λ+µ＝1B．λ+µ＝﹣1C．λµ＝1D$\lambda \mu = - 1$

答案

D

解析

分析

由已知求得$\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$与$\vec{a} + \vec{\mu b}$的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解

解答

解：$\because \overrightarrow{a} = ( 1 , 1 ) , \ \overrightarrow{b} = ( 1 , - 1 )$

$\therefore \vec{a} + \lambda \vec{b} = (\lambda + 1, 1 - \lambda), \vec{a} + \mu \vec{b} = (\mu + 1, 1 - \mu),$

由$( \vec{a} + \lambda \vec{b} ) \perp ( \vec{a} + \mu \vec{b} )$），得$( \lambda + 1 ) \ ( \mu + 1 ) \ + \ ( \ 1 \ - \lambda ) \ ( \ 1 \ - \mu ) \ = 0$

整理得：$2 \lambda \mu + 2 = 0$，即$\lambda \mu = - 1$

故选：D