分式分离常数判单调

解题套路

1. 凑分子：把分子写成分母的倍数加一个余项—— $$\frac{p+qt}{r+st}=\frac{\frac{q}{s}(r+st)+\left(p-\frac{qr}{s}\right)}{r+st} =\frac{q}{s}+\frac{p-\frac{qr}{s}}{r+st}\qquad(s\neq0).$$
2. 读单调：记余项的分子为 $c=p-\dfrac{qr}{s}$。$t$ 变大时 $r+st$ 单调（$s>0$ 递增、$s<0$ 递减）， $\dfrac{c}{r+st}$ 跟着单调、方向由 $c$ 的符号再翻一次。 把两次符号乘起来，就得到整个分式的增减——在分母不变号的每一段上是严格单调的。
3. 代端点：严格单调 ⇒ 区间上无驻点 ⇒ 最大最小值分别在两个端点取到，代进去即得。

余项的符号有个好记的判据：$\dfrac{p+qt}{r+st}$ 的导数是 $\dfrac{qr-ps}{(r+st)^2}$， 故 $qr-ps>0$ 就递增、$<0$ 就递减（与上面「凑分子」得到的余项符号相反，是同一件事的两种说法）。

为什么好用

• 把「求最值」降级成「读符号」：分离之后 $t$ 只出现在分母那一处，函数长什么样一目了然， 不必求导、不必列表、不必讨论驻点。
• 它顺手交出值域：区间两端的值就是上下界，「取不取到」由区间端点是否闭合直接读出。
• 它对二次比二次的分式同样是终点：这类式子往上下同时因式分解，能约掉的约掉之后 常常正是一次比一次（向量夹角、圆锥曲线离心率里的分式多半如此）。

注意

• 分母不能变号：$r+st$ 在区间内穿过 $0$ 时，函数被那个点劈成两段，两段各自单调但整体 既无最大也无最小。分离之前先确认 $r+st$ 在整段上定号。
• $s=0$ 时不必分离（那是一次函数），$q=0$ 时分子是常数（式子就是 $\frac{p}{r+st}$ 本身）。
• 分离出的常数 $\frac{q}{s}$ 是水平渐近线的高度：$t\to\pm\infty$ 时函数趋于它而取不到， 这解释了为什么这类分式的界常常「够不着」。
• 只在区间上求最值时才谈端点；$t$ 的范围写错，端点就代错——先把自变量的范围钉死。