含参绝对值不等式恒成立

题型说明

• 常见问法：「若对任意 $x\in\mathbf{R}$，$a|x-b|+|x-4|-|2x-5|\ge0$，则（　）」，选项是参数的几组范围。
• 它把两件事叠在一起考：绝对值函数的分段处理，与恒成立问题的参数约束。
• 关键动作：
  1. 移项分家——把含参的一坨挪到一边：$a|x-b|\ge|2x-5|-|x-4|$；
  2. 把不含参的那一边化成分段函数，算清每一段的斜率与拐点；
  3. 要么代特殊值挤必要条件（选择题够用），要么画图看上下关系（要精确范围时用）。

两处几乎必考的切入点

• 让含参那一项归零的点：$|x-b|$ 在 $x=b$ 处为 $0$，代进去参数 $a$ 整个消失，直接得到关于 $b$ 的条件。这是这类题最锋利的一刀。
• 两端的增长速度：$x\to\pm\infty$ 时比两边的斜率（或最高次系数），一步锁死参数的方向。

常见陷阱

• 忘了参数可能取负：$a<0$ 时 $a|x-b|\le0$，而右边在两端趋于 $+\infty$，恒成立不可能——这一句要先说掉，否则后面的「比斜率」默认了 $a>0$。
• 分段点算错：$|2x-5|$ 的零点是 $\dfrac52$ 不是 $5$，$|x-4|$ 的是 $4$。两个零点把数轴分成三段，逐段化简时符号极易搞反。
• 把必要条件当答案：代两个点挤出的范围通常比真实范围宽。选择题里够用，填空题要回验充分性。
• 看图只看中间不看两端：$x$ 很大时两条曲线都在往上走，谁跑得快决定成败——这一段在草图上往往被截掉，恰恰是最要紧的。