浙江 2017 · 数学 q01

冷启动：先把两个集合读成两段数轴

题面给的两个集合都是描述法写的：

描述法读起来像一句话——「所有满足 $-1<x<1$ 的实数 $x$」。但这句话说的其实是数轴上的一段：从 $-1$ 到 $1$ 之间的所有点。写成区间就是 $P=(-1,1)$、$Q=(0,2)$。

三处要在动手前就看清：

• 两个不等号都不带等号（是 $<$ 不是 $\le$），所以 $-1$、$1$、$0$、$2$ 这四个端点一个都不在集合里。图上画成空心点。
• 题面问的是 $P\cup Q$，符号 $\cup$ 读作「并」。并集收的是「在 $P$ 里，或在 $Q$ 里」的元素——有一边收就够。
• 四个选项 $(-1,2)$、$(0,1)$、$(-1,0)$、$(1,2)$ 全是区间，长度各不相同。这是出题人摆好的四个陷阱位：其中一个正是交集。

下面两条路。第一条老老实实把并集画出来、读出来；第二条一个交点都不算，只用「并集必须把两边都装下」这条性质把选项刷掉。

解法一：数轴上取并

怎么想到的。 集合的并、交、补三种运算，只要集合是数轴上的区间，就都能画出来看。把两段画成上下两条杠，「并」就是至少被一条杠盖住的那一片，「交」就是被两条杠同时盖住的那一片。画出来之后不用记定义，眼睛直接读。

① 两段各画一条杠。 $P$ 从 $-1$ 到 $1$，$Q$ 从 $0$ 到 $2$。两条杠在 $0$ 到 $1$ 这一段重叠——这一点很重要，下一步要用。

② 取「至少落进一条」的那一片。 因为两段有重叠，它们并起来不会断成两截，而是连成一整条。这条整杠的：

• 左端跟着更靠左的那个左端点：$\min\{-1,\ 0\}=-1$；
• 右端跟着更靠右的那个右端点：$\max\{1,\ 2\}=2$。

③ 端点再确认一遍。 $-1$ 既不在 $P$ 里（$P$ 要求 $x>-1$）也不在 $Q$ 里，所以它不进并集；$2$ 同理。并集两端仍是开的，写 $(-1,2)$ 而不是 $[-1,2]$。

对照选项，故选 A。

「有重叠」这一步不是废话。 如果题目换成 $P=(-1,0)$、$Q=(1,2)$，两段中间隔着一块，并集就是 $(-1,0)\cup(1,2)$ 两段，写不成一个区间，四个单区间选项里一个都不对。所以「左端取小、右端取大」这条捷径只在两段有公共部分（或至少端点相接）时成立，先看一眼再用。

解法二：用「并集必含两边」排除

怎么想到的。 这是选择题，答案已经摆在四个里面了。与其正面算，不如找一条正确答案必须满足、而且一眼能验的性质，拿它去刷选项。并集有一条现成的：

念成人话——并集必须把 $P$ 和 $Q$ 都装下。这是并集定义的直接推论：$P$ 里的元素当然「在 $P$ 里或在 $Q$ 里」。

① 先用「装不下」刷一轮。 正确答案必须同时包含 $P=(-1,1)$ 和 $Q=(0,2)$，于是它的左端点不能大于 $-1$、右端点不能小于 $2$。

一轮就只剩 A。验的时候各挑一个具体的数（$x=-0.5$ 属于 $P$、$x=1.5$ 属于 $Q$），比空想「谁包含谁」更不容易出错：

• $x=-0.5$：它在 $P$ 里 $\Rightarrow$ 必在 $P\cup Q$ 里。B、D 都不含 $-0.5$，出局。
• $x=1.5$：它在 $Q$ 里 $\Rightarrow$ 必在 $P\cup Q$ 里。B、C 都不含 $1.5$，出局。

两个数交叉刷完，B、C、D 全灭。

② 对留下的那一个代回定义。 排除法只证明「若答案在选项里，只能是 A」，它没有验证 A 真的对。所以补一步：$(-1,2)$ 里的每个数，是不是都「在 $P$ 里或在 $Q$ 里」？取 $x\in(-1,2)$，若 $x<1$ 则 $x\in(-1,1)=P$；若 $x\ge 1$ 则由 $x<2$ 得 $x\in(0,2)=Q$。两种情形都有归属，$(-1,2)\subseteq P\cup Q$ 成立；反向包含在第 ① 步已经有了。确认是 A。

这两条路差在哪。 解法一正面算出并集，答案是什么就是什么，填空题、解答题都能用。解法二只用必要条件刷选项，一个端点都不用算，但它天生依赖「四选一且必有一个对」，离开选择题就不成立——所以第 ② 步那次代回验证不是多余的礼节，是这条路唯一能补上的地方。$P$、$Q$ 复杂到画不出来时（例如要先解一个二次不等式），解法二能省下大半计算。

本题四个选项恰好是四种读法的产物：

选项	它是什么	错在哪
A $(-1,2)$	$P\cup Q$	正确
B $(0,1)$	$P\cap Q$	把并集做成了交集——符号 $\cup$ 与 $\cap$ 记反
C $(-1,0)$	$P$ 里、$Q$ 外的那段	把「并」读成了「从 $P$ 里挖掉 $Q$」
D $(1,2)$	$Q$ 里、$P$ 外的那段	同 C，只是挖的方向反过来

B 是最值得停一停的那个：它长得完全像个正经答案，中途没有任何一步会算不下去。一条随手可用的自查——并集只会变大（$P\subseteq P\cup Q$），算完扫一眼，问并集却得到一个比 $P$ 还短的区间，一定是记反了。$(0,1)$ 比 $P=(-1,1)$ 短，当场就该警觉。