共线定比求另一点坐标

解题套路

$P$、$Q$、$R$ 三点共线，已知 $P$、$R$ 与比值 $|PQ|:|PR|=\lambda$，则

坐标分量各算各的：$x_Q=x_P\pm\lambda(x_R-x_P)$，$y_Q$ 同理。不必再联立一次方程——比例信息已经把 $Q$ 钉死了。

「$\pm$」不是装饰

长度比只说多远，不说朝哪边：

• $+\lambda$：$Q$ 在 $P$ 到 $R$ 的同一侧（$\lambda<1$ 时落在线段 $PR$ 内）；
• $-\lambda$：$Q$ 在 $P$ 的另一侧，与 $R$ 分居 $P$ 两旁。

题面若只写 $|PQ|=\lambda|PR|$，两种都得算，再用别的条件（象限、横坐标符号、点在不在曲线上）淘汰。只有题面明确给出向量关系 $\overrightarrow{PQ}=\lambda\overrightarrow{PR}$ 时，方向才是给定的。

常见用法

• 圆锥曲线里已知焦点 $F$ 与两个交点的距离比，求其中一点的坐标；
• 中点是 $\lambda=\dfrac12$ 的特例；重心、三等分点同理。

失手处

• 比值取反：$|PQ|:|PR|$ 与 $|PQ|:|QR|$ 差一步换算（后者是 $\lambda/(1-\lambda)$ 的关系），读题时看清是「与全长比」还是「与另一段比」。
• 只算了同侧那一种，把另一种当作不存在——见上。