四面体中的线面平行与垂足存在性

题型说明

• 常见问法：「四面体 $P\text{-}ABC$，平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，$\triangle ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的 等腰直角三角形，$E$、$F$、$O$ 分别是 $PA$、$PB$、$AC$ 的中点。（Ⅰ）设 $G$ 是 $OC$ 的中点， 证明 $FG\parallel$ 平面 $BOE$；（Ⅱ）证明在 $\triangle ABO$ 内存在一点 $M$，使 $FM\perp$ 平面 $BOE$， 并求 $M$ 到两条边的距离。」多为解答题的第三题，$14$ 到 $15$ 分。
• 骨架是一个等腰三角形的对称轴竖起来：底面斜边的中点 $O$ 同时是三件事的交汇处—— 它是斜边中点（故 $BO\perp AC$ 且 $BO$ 等于斜边的一半）、是等腰 $\triangle PAC$ 底边的中点 （故 $PO\perp AC$）、又因为两面垂直而使 $PO\perp$ 底面。三条从 $O$ 出发的线两两垂直， 长度全部由题面那两个数（斜边长、侧棱长）算得出来。

两问各自的入口

第 (Ⅰ) 问，线面平行。 这一问的特点是图里全是中点，所以有三条路：

1. 造平行平面：再补一个中点（常是 $OP$ 的中点），用两条中位线证出一个与目标平面平行的平面， 目标线段落在这个平面里。
2. 向量共面：把 $\overrightarrow{FG}$ 用平面内两个不共线向量线性表示（见「向量共面判线面平行」）。 这一条最短，而且能看出这一问根本用不到任何长度与垂直条件——只用到「都是中点」。
3. 建系取法向量：$\vec n\cdot\overrightarrow{FG}=0$ 再补一句「线不在面内」。

第 (Ⅱ) 问，垂足点的存在性与定位，也有三条：

1. 建系：设 $M(x_{0},y_{0},0)$，由 $\overrightarrow{FM}\parallel\vec n$ 解出两个坐标，再代进 $\triangle AOB$ 内部的不等式组验一遍。
2. 垂面截面：作一个与那条公共棱垂直、且过 $F$ 的平面，把整个问题压进这一个截面里， 在截面内解一次直角三角形（见「借面面垂直找垂足」）。
3. 基底向量：写 $\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$， 两个数量积为零定出 $\lambda$、$\mu$；此时「在三角形内部」就是 $\lambda>0$、$\mu>0$、$\lambda+\mu<1$， 比不等式组更好验。

这类题的两处关口

1. 「存在」必须真的验一遍。 解出 $M$ 的坐标只说明「垂线与底面的交点在这里」， 而题目问的是这个交点落不落在那个三角形的内部。算完不验，第 (Ⅱ) 问的「证明存在」就没做。
2. 线面垂直要两条。 $\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{OB}$ 只把 $M$ 限制在一条直线上， 还得再压一条 $\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{OE}$ 才能把点钉死。 只验一条就宣布 $FM\perp$ 平面，是这一问最常见的错法。