周期函数

教材原文

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，如果存在一个非零常数 $T$ ，使得对每一个 $x \in D$ 都有 $x + T \in D$ ，且

$f (x + T) = f (x),$

那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数（periodic function）。非零常数 $T$ 叫做这个函数的周期（period）。周期函数的周期不止一个。例如，$2\pi, 4\pi, 6\pi, \cdots$ 以及 $-2\pi, -4\pi, -6\pi, \cdots$ 都是正弦函数的周期。事实上，$\forall k \in \mathbf{Z}$ 且 $k \neq 0$，常数 $2k\pi$ 都是它的周期。

如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做$f(x)$ 的最小正周期.

定义

若存在非零常数 $T$，使得对定义域内任意 $x$ 都有

则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为它的一个周期。

要点

• 由 $f(x+T)=f(x)$ 可得 $f(x+kT)=f(x)\ (k\in\mathbb{Z})$：自变量加减整数个周期，函数值不变。
• 求值套路：先用周期把自变量平移进已知解析式的区间，再代入。