浙江 2025 · 数学 q05

先把题目给的三句话看清楚

假设你刚学到函数的性质。这道题一句废话都没有，三句话缺一条就做不了：

1. $f$ 是偶函数——对任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，图象关于 $y$ 轴对称。一句话：自变量前面那个负号可以直接去掉。
2. $f$ 的周期是 $2$——对任意 $x$ 都有 $f(x+2)=f(x)$，反复用就得到 $f(x)=f(x+2k)$（$k$ 是整数）。一句话：自变量加减整数个 $2$，函数值不变。这条性质靠的是周期函数的定义，没有别的门道。
3. 只有 $2\leq x\leq 3$ 这一段给了式子：$f(x)=5-2x$。

难点全在第 3 句。 题目问的是 $f\!\left(-\tfrac34\right)$，而 $-\tfrac34$ 离 $[2,3]$ 远得很，那条式子在这里根本不成立——它是「当 $2\leq x\leq3$ 时」才有的式子，写在别处就是一句假话。所以代入之前，必须先让「待求的点」与「有式子的那一段」碰上。

能动的只有自变量。 式子本身是题目给死的，它只认 $[2,3]$；能挪的是待求点。所以这道题的主线只有一条：拿那两条性质，把 $-\tfrac34$ 搬进 $[2,3]$。（也有人爱反过来说「把式子搬到 $-\tfrac34$ 所在的那一段上」——那是同一条路的字母版，用的还是同样两下动作，本文末尾单独写出来，因为它的产物换个问法更好用。）

解法一：把自变量化归进已知区间

怎么想到的。 手上唯一能直接算的东西是 $5-2x$，而它只认 $[2,3]$ 里的自变量。式子改不了，那就动自变量——性质 1 专门负责去掉负号，性质 2 专门负责整段整段地平移。两件工具轮着用，把 $-\tfrac34$ 一步步挪进 $[2,3]$，这套动作就叫奇偶周期化归。

① 先用偶性去掉负号。 待求点是负的，而偶函数满足 $f(-x)=f(x)$，取 $x=\tfrac34$：

$$f\!\left(-\tfrac34\right)=f\!\left(\tfrac34\right)$$

翻的是自变量的符号，函数值一点没动——这一点后面避坑段还要再说一次。

② 再用周期把它推进 $[2,3]$。 $\tfrac34$ 还不在 $[2,3]$ 里，但差得不多，加一个周期试试：

$$f\!\left(\tfrac34\right)=f\!\left(\tfrac34+2\right)=f\!\left(\tfrac{11}{4}\right)$$

落点必须当场检查：$\tfrac{11}{4}=2.75$，确实在 $[2,3]$ 里。这一步的唯一标准就是「落进有式子的那一段」——不是「越小越好」，也不是「加一个周期就算完事」；一次不够就再加，加到落进去为止。

③ 这时才允许代入。

$$f\!\left(\tfrac{11}{4}\right)=5-2\times\tfrac{11}{4}=5-\tfrac{11}{2}=-\tfrac12$$

④ 对照选项。 A. $-\tfrac12$、B. $-\tfrac14$、C. $\tfrac14$、D. $\tfrac12$。算出来的 $-\tfrac12$ 命中 A。

顺序换一换，仍然是这一条路。 也可以先加周期：$f\!\left(-\tfrac34\right)=f\!\left(\tfrac54\right)$，再用偶性翻成 $f\!\left(-\tfrac54\right)$，再加两个周期落到 $f\!\left(\tfrac{11}{4}\right)$——绕了三步，结果一模一样。换的只是先后与步数，用的还是那两条性质，所以它不算另一条路；这也正是台账里只写一条解法的理由。

图上 $x=-\tfrac34$、$\tfrac34$、$\tfrac{11}{4}$ 这三个点高度完全一样，那就是上面两步的全部意思：它们的函数值本来就是同一个数，我们只是走到「算得出来」的那个点上去算。

同一条路的字母版：反求出一整段的解析式

先说清楚：这不是解法二。 这道题只有一条实质不同的路——手上就那两条性质，动作就「变号」与「平移一个周期」两下，下面这一节用的还是它们，只是把代入延后到最后一步，先拿字母把式子搬过来。之所以还值得写，是因为它的产物不是一个数、而是一整段解析式：图上 $[2,3]$ 之外的折线是怎么长出来的，答案就在这两步里。

① 用周期把式子从 $[2,3]$ 平移到 $[0,1]$。 设 $0\leq x\leq 1$，那么 $2\leq x+2\leq 3$，题目给的式子对 $x+2$ 是能用的，于是

$$f(x)=f(x+2)=5-2(x+2)=1-2x \qquad (0\leq x\leq 1)$$

② 用偶性把式子翻到 $[-1,0]$。 设 $-1\leq x\leq 0$，那么 $0\leq -x\leq 1$，第 ① 步的式子对 $-x$ 能用了，于是

$$f(x)=f(-x)=1-2\cdot(-x)=1+2x \qquad (-1\leq x\leq 0)$$

③ 代入，与解法一互为验算。 $-\tfrac34$ 正落在 $[-1,0]$ 里：

$$f\!\left(-\tfrac34\right)=1+2\times\left(-\tfrac34\right)=1-\tfrac32=-\tfrac12$$

仍然是 $-\tfrac12$，仍然选 A。

顺手验一下搬得对不对。 端点最好用：① 式给 $f(1)=-1$，而 $f(1)$ 按周期应等于 $f(3)=5-2\times3=-1$，对上了；② 式给 $f(-1)=-1$、$f(0)=1$，而偶性要求 $f(-1)=f(1)=-1$，也对上了——$f(0)=1$ 正是图上 $x=0$ 那个峰。三处自洽，说明这两步没搬歪。

这就是图左半边那条折线的来历：$[2,3]$ 上那截粗线（从 $(2,1)$ 到 $(3,-1)$）先按周期平移到 $[0,1]$，再关于 $y$ 轴翻到 $[-1,0]$，然后左右无限重复。

什么时候值得多推这两步。 题目只问一个值，直接化归最快，三行算完。但只要问法一变——「求 $f$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值」「解方程 $f(x)=-\tfrac12$」「画出 $f$ 的图象」——一个点一个点地化归就不够了，而这一节的产出直接就是答案的材料。

🕳️ 避坑

• 最常见的错是把 $-\tfrac34$ 直接代进 $5-2x$，算出 $5+\tfrac32=\tfrac{13}{2}$。那条式子只在 $2\leq x\leq3$ 上成立，区间外代入就是分段解析式越界代入。$\tfrac{13}{2}$ 连选项里都没有——算完对不上任何选项时，先怀疑这一步。
• 偶性翻的是自变量、不是函数值：$f\!\left(-\tfrac34\right)=f\!\left(\tfrac34\right)$，不是 $-f\!\left(\tfrac34\right)$。当成奇函数处理会得到 $+\tfrac12$，正好掉进 D——四个选项里两个只差一个符号，就是为这个错法准备的。
• 周期平移的目标是「落进 $[2,3]$」，不是「离 $0$ 最近」：停在 $\tfrac34$ 会发现没有式子可代，必须推到 $\tfrac{11}{4}$。
• 反求整段解析式时，别把括号里的东西当成 $f$ 的自变量。由 $2\leq x\leq 3$ 出发写出的 $f(x-2)=f(x)=5-2x$ 是一条真等式，坑在下一步：它说的是「$f$ 在 $x-2$ 这个点的值等于 $5-2x$」，不是「$f$ 的解析式是 $5-2x$」。要得到 $[0,1]$ 上的式子，必须换元 $t=x-2$、把 $x=t+2$ 代回去：$f(t)=5-2(t+2)=1-2t$，与上面 ① 式一致。漏了这次换元、直接把 $f(t)=5-2t$ 当结论，会算出 $f\!\left(\tfrac34\right)=\tfrac72$——又是一个选项里没有的数。