余弦函数

教材原文

设 $\alpha$ 是一个任意角，$\alpha \in \mathbf{R}$，它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x, y)$.

(2) 把点 $P$ 的横坐标 $x$ 叫做 $\alpha$ 的余弦函数 (cosine function), 记作 $\cos \alpha$, 即

$x = \cos \alpha ;$

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometric function），通常将它们记为：

正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$;

余弦函数 $y = \cos x, x \in \mathbf{R}$;

正切函数 $y = \tan x, x \in \{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z})\}$.

定义

余弦函数 $y=\cos x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$、值域为 $[-1,1]$，是周期 $2\pi$ 的偶函数。

要点

• 图象在 $x=2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）处取最大值 $1$，离峰越远越小——这种「峰窗」结构是许多存在性 / 最值问题的几何直觉来源。
• $\cos y>\cos\theta$（$\theta\in(0,\pi)$）当且仅当 $y$ 落在以某个 $2k\pi$ 为中心、半宽 $\theta$ 的开区间内。