带二次约束的线性式最值

题型说明

• 常见问法：「设 $x,y$ 为实数，若 $4x^{2}+y^{2}+xy=1$，则 $2x+y$ 的最大值是 ______」， 或「已知 $x^{2}+y^{2}=1$，求 $3x+4y$ 的取值范围」。
• 两样东西各司其职：约束是二次的（一条曲线），目标是一次的（一族平行直线）。
• 与线性规划的区别是可行域的边界是曲线不是折线，所以最优点不在顶点上，而在相切处。

怎么做

一句话：把要求的那个一次式整体记成 $t$，「$t$ 取得到」就是「直线 $mx+ny=t$ 与曲线有公共点」。

1. 令 $t=mx+ny$，解出一个变量（比如 $y=\dfrac{t-mx}{n}$，$n\neq 0$），代回约束。
2. 代回后得到一个关于剩下那个变量的一元二次方程，$t$ 在里面只是常数。
3. 「有实数解」$\Leftrightarrow$ $\Delta\geq 0$（见判别式定有解）， 解出来就是 $t$ 的取值范围。
4. 回头验取等：$\Delta=0$ 时算出重根，配上 $y$，代回约束核对——这一步才把「范围」升级成「最值」。

三条常用路子

先确认最值存在

约束曲线有界（椭圆），最大值才一定存在。二次曲线 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=D$ 是椭圆的判据是 $B^{2}-4AC<0$；若它是双曲线或抛物线，曲线无界，一次式往往没有最大值， 此时 $\Delta\geq 0$ 解出的会是 $t^{2}\geq$ 某数这种「挖掉中间一段」的形状，读起来完全不同。