套路

用平方非负卡住交叉项

式子里同时有平方项和交叉项 $xy$ 时，用 $(ax\pm by)^{2}\geq 0$ 把 $xy$ 换成平方项的上界或下界，交叉项就被卡死了。

解题套路

一个二次式里既有 $a^{2}x^{2}$ 、 $b^{2}y^{2}$ ，又有交叉项 $xy$ ，想给 $xy$ 定个界，就把两个平方项配起来：

(ax-by)^{2}\geq 0\ \Longrightarrow\ a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\geq 2ab\,xy ,

(ax+by)^{2}\geq 0\ \Longrightarrow\ a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\geq -2ab\,xy .

这两条对一切实数都成立，不用讨论正负——这正是它比基本不等式 $u+v\geq 2\sqrt{uv}$ 好使的地方：后者要求 $u,v\geq 0$ ，前者不要求。

把它塞进已知的约束里，交叉项就被换成了一个数：

已知 $4x^{2}+y^{2}+xy=1$ ，由 $4x^{2}+y^{2}\geq 4xy$ 得 $1\geq 5xy$ ，即 $xy\leq\dfrac15$ 。

上面两条一个把 $xy$ 往上卡、一个往下卡，用途正相反：

要的界	用哪条	取等条件
$xy$ 的上界（常配最大值）	$(ax-by)^{2}\geq 0$	$ax=by$
$xy$ 的下界（常配最小值）	$(ax+by)^{2}\geq 0$	$ax=-by$

写完先问一句：我要的是最大还是最小？选错那一条，不等号方向对了也接不上结论。

$(ax-by)^{2}=0$ 只给出 $ax=by$ 这条直线，还得把它代回原约束解出具体的 $(x,y)$ ，再算一遍目标式，确认那个界真取得到（见不等式求最值漏验等号）。约束是二次的时候，代回通常给出一对互为相反数的解，其中一个给最大值、另一个给最小值——别取错号。

共 1 道题考到本条。