三个极值点补一个成等差

这类题长什么样

前一问先把「有三个极值点」的参数范围求出来（多半靠导数因式分解成 $f'(x)=(\text{正因子})(x-x_{0})g(x)$，再让 $g$ 的两根夹住 $x_{0}$）； 后一问说「设 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 是三个极值点，是否存在 $x_{4}$ 使某种排列依次成等差」。

「某种排列」这四个字是全题的题眼——它不说 $x_{4}$ 排在第几个，于是四个位置都要考虑。

固定动作

1. 先把三个极值点排好序。多数题里有一个点是现成的（求导时提出来的那个一次因式）， 另两个是一个二次式的根；判别式恒正 + 那个点处二次式取负，就锁定了 $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ 的顺序。

2. 把原点搬到中间那个点（换元 $u=x-x_{0}$）。三点变成 $-p$、$0$、$v$，参数只剩一个组合。

3. 数排法：设公差 $d>0$，已知三点的相邻间距是 $p$ 和 $v$，$x_{4}$ 只能占四项中的一项，于是

   $$p:v=1:1\ (\,x_{4}\ \text{在两端}\,),\qquad p:v=2:1,\qquad p:v=1:2\ (\,x_{4}\ \text{插在中间}\,).$$

4. 每种比例配上韦达的两式（$p$、$v$ 的和与积都由参数表出），各解一次方程。

5. 每支都要验正性：$p>0$、$v>0$、$d>0$，以及第一问求出的参数范围。 平方两边时产生的增根，全靠这一步筛掉。

常见失手

• 只想到把 $x_{4}$ 补在两端，漏掉插在中间的两种——这类题一漏就少两个答案。
• 忘了两边平方前先判正负。$\sqrt{\Delta}=\pm3(\cdots)$ 这种式子，左边非负，右边的符号 决定了哪个根能留。
• 算完不回头核第一问的范围。第二问解出的参数必须同时满足第一问， 虽然很多题里它自动成立，也得写一句。