到多点的距离平方和

题型说明

• 常见问法：$A_1,\dots,A_n$ 是某个对称图形的顶点，$P$ 在某条线段（或某段弧、某个区域）上，求 $\sum_i|PA_i|^2$ 的值或取值范围。
• 核心恒等式：取 $O$ 为这组点的中心（各点位置向量之和为零的那个点），则

右端第二项是常数（与 $P$ 无关），所以整个和只由 $|PO|$ 决定——一个二元动点问题被压成了一元的。

• 于是解题分两半：先压成 $|PO|$ 的式子，再求 $|PO|$ 的范围。后一半往往才是真正的考点。

两条常见路

1. 建系直算：写出各 $A_i$ 的坐标，$\sum\left[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2\right]$ 展开，交叉项因 $\sum x_i=\sum y_i=0$ 而消失。
2. 两两配对：若这些点中心对称（正偶数边形、矩形、直径两端），把它们配成过 $O$ 的对，每对用中线定理给出 $2|PO|^2+2R^2$，不必写一个坐标。

常见陷阱

• $P$ 的活动范围读错：「$P$ 在边上」「$P$ 在弦上」都不等于「$P$ 在圆上」，$|PO|$ 的下界是中心到那条线段的距离，不是 $0$，上界才是 $R$。
• 忘了 $\sum|OA_i|^2$ 这个常数项，只写 $n|PO|^2$。
• 中心取错：$O$ 必须是这组点的重心，否则交叉项不为零。