概率与期望的大小比较

题型说明

• 常见问法：同一个随机装置在两种参数（抽 1 个 / 抽 2 个、有放回 / 无放回、方案甲 / 方案乙）下，分别定义一个计数随机变量 $\xi_i$ 和一个概率 $p_i$；选项把 $p_1$ 与 $p_2$、$E(\xi_1)$ 与 $E(\xi_2)$ 的两个方向组合成四条。
• 主线：
  1. 期望那一路走指示变量 + 线性性，几乎不用列分布列；
  2. 概率那一路先找它与期望的桥——若「取到目标的概率 $=$ 目标个数 $\div$ 总数」，则全概率公式直接给出 $p_i=\dfrac{E(\xi_i)}{\text{总数}}$，两问并成一问；
  3. 两个量各作一次差，符号定下来就对号入座。
• 提速：四个选项是「两个方向」的全组合，所以只要定准一个方向就能砍掉一半；两个方向都定准即唯一。

常见陷阱

• 认定「个数涨则概率涨」，直接在同向的两条里挑——恰恰这类题的答案多半是反向的那条。
• 为了求 $p_2$ 去硬列 $\xi_2$ 的分布列再逐项乘条件概率，算式膨胀成两行分式，容易在 $mn$ 的系数上写错。
• 用特殊值定方向时忘了它只在单选题里成立，写进解答题当证明。