存在外层函数使复合式成立

题型长相

四个选项各给一对 $\bigl(g(x),\,h(x)\bigr)$，问哪一对能配出 $f$。常见的内层是

它们都是多对一的——正是这一点让 $f$ 有可能不存在。

判据

• 「$\Rightarrow$」：若 $f$ 存在，则 $g(x_{1})=g(x_{2})$ 时 $h(x_{1})=f(g(x_{1}))=f(g(x_{2}))=h(x_{2})$。
• 「$\Leftarrow$」：若右边成立，就可以定义 $f$：对 $g$ 的值域里的每个 $t$， 任取一个满足 $g(x)=t$ 的 $x$，令 $f(t)=h(x)$。右边保证了这个定义与 $x$ 的取法无关， 即 $f$ 是良定义的函数；$g$ 值域之外的地方随便补一个值即可。

两种用法

• 要否定：只需举一个反例——找两个 $x_{1}\neq x_{2}$ 使 $g(x_{1})=g(x_{2})$ 而 $h(x_{1})\neq h(x_{2})$。 内层是 $\sin 2x$ 时，$x=0$ 与 $x=\frac{\pi}{2}$、$x=0$ 与 $x=\pi$ 都是现成的一对； 内层是 $x^{2}+c$ 时，$x$ 与 $-x$ 是现成的一对。
• 要肯定：当场把 $f$ 写出来。最省事的办法是把 $h$ 凑成 $g$ 的式子， 例如 $|x+1|=\sqrt{(x+1)^{2}}=\sqrt{(x^{2}+2x)+1}$，于是 $f(t)=\sqrt{t+1}$。 写出来之后要回代验证一遍，并说明定义域覆盖了 $g$ 的值域。

注意

• 只验一个方向不够。举不出反例不等于 $f$ 存在——必须真把 $f$ 造出来。
• 选择题可以先淘汰。四选一时把三个用反例打掉，剩下的那个就是答案； 但填空、解答题里必须给出 $f$。
• 别把「$g$ 不是一一对应」当成否定的理由。$g$ 多对一只是可能出问题； 只有当 $h$ 在被折到一起的那两点上取值不同，$f$ 才真的不存在。