浙江 2015 · 数学 q07

冷启动：先把「存在 $f$」翻译成一句可判定的话

四个选项都长成同一个样子：给定内层 $g(x)$ 与目标 $h(x)$，问能不能找到 $f$ 使得

$$f\bigl(g(x)\bigr)=h(x)\qquad\text{对一切 }x\in\mathbf{R}\text{ 成立}.$$

关键是 $f$ 必须是一个对应关系：同一个自变量只能有一个值。 而 $f$ 的自变量是 $g(x)$。所以，只要有两个 $x_{1},x_{2}$ 让 $g$ 取同一个值， $f$ 在那一处就只能有一个输出，于是 $h$ 也必须在这两处取同一个值：

$$\boxed{\ \exists f\ \text{使}\ \forall x,\ f(g(x))=h(x) \iff \bigl(g(x_{1})=g(x_{2})\Rightarrow h(x_{1})=h(x_{2})\bigr)\ }$$

「$\Rightarrow$」是上面那段话；「$\Leftarrow$」是把 $f$ 造出来： 对 $g$ 值域里的每个 $t$，随便取一个满足 $g(x)=t$ 的 $x$，令 $f(t)=h(x)$—— 右边的条件保证这个值与 $x$ 怎么取无关，$f$ 于是良定义。

四个选项的内层都是多对一的（$\sin 2x$ 与 $x^{2}$ 型），所以每一个都要查。

解法一：逐个选项试特殊值，找出「同一输入两个输出」的反例

要否定一个选项，只需举一个反例：两个不同的 $x$ 让内层相等、外层不等。 内层是 $\sin 2x$ 时，最省事的一对是让 $\sin 2x=0$ 的那些 $x$； 内层是 $x^{2}+c$ 型时，$x$ 与 $-x$ 天然被折到一起。

第一步：否定 A

A 是 $f(\sin 2x)=\sin x$。取

• $x=0$：$\sin 2x=\sin0=0$，于是 $f(0)=\sin0=0$；
• $x=\dfrac{\pi}{2}$：$\sin 2x=\sin\pi=0$，于是 $f(0)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$。

同一个自变量 $0$ 被要求同时取值 $0$ 与 $1$，不可能。A 不成立。

第二步：否定 B

B 是 $f(\sin 2x)=x^{2}+x$。取

• $x=0$：$\sin 2x=0$，于是 $f(0)=0^{2}+0=0$；
• $x=\pi$：$\sin 2x=\sin2\pi=0$，于是 $f(0)=\pi^{2}+\pi$。

而 $\pi^{2}+\pi>0$，所以 $f(0)$ 又被要求取两个不同的值。B 不成立。

第三步：否定 C

C 是 $f(x^{2}+1)=|x+1|$。取

• $x=1$：$x^{2}+1=2$，于是 $f(2)=|1+1|=2$；
• $x=-1$：$x^{2}+1=2$，于是 $f(2)=|-1+1|=0$。

$f(2)$ 被要求同时是 $2$ 与 $0$。C 不成立。

第四步：肯定 D——把 $f$ 真的造出来

D 是 $f(x^{2}+2x)=|x+1|$。注意到

$$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,$$

也就是说 $|x+1|=\sqrt{(x+1)^{2}}=\sqrt{(x^{2}+2x)+1}$。 （这一步用的是 $\sqrt{u^{2}}=|u|$，不是 $\sqrt{u^{2}}=u$——正因为带了绝对值， 才和左边的 $|x+1|$ 严丝合缝。）

于是取

$$f(t)=\sqrt{t+1},\qquad t\geq-1 .$$

验证定义域：内层 $g(x)=x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1\geq-1$，值域恰好是 $[-1,+\infty)$， 落在 $f$ 的定义域里。验证等式：

$$f\bigl(x^{2}+2x\bigr)=\sqrt{(x^{2}+2x)+1}=\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|,$$

对一切实数 $x$ 成立。D 成立。

第五步：作答

A、B、C 都被反例打掉，D 已经造出了合乎要求的 $f$，选 D。

答案：D。

解法二：比对内层与外层的对称轴，轴不重合就没有 $f$

上一条路是一个一个试点。这一条问的是结构：内层到底把哪些点折到了一起？ 答案通常是「绕某条竖直线对称的那两个点」。若内层绕 $x=m$ 对称， 即 $g(2m-x)=g(x)$ 对一切 $x$ 成立，那么只要 $f$ 存在，就有

$$h(2m-x)=f\bigl(g(2m-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)=h(x),$$

即 $h$ 必须绕同一条直线 $x=m$ 对称。轴对不上，$f$ 当场不存在。

第一步：$\sin 2x$ 绕 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 对称——A、B 一起倒下

由 $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ 得

$$\sin\Bigl(2\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)\Bigr)=\sin(\pi-2x)=\sin 2x,$$

所以内层绕 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 对称：它把 $x$ 与 $\dfrac{\pi}{2}-x$ 折到一起。于是外层必须满足 $h\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=h(x)$。

• A 的外层 $h(x)=\sin x$。取 $x=0$：$h\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=1\neq0=h(0)$。不对称，A 不成立。
• B 的外层 $h(x)=x^{2}+x=\Bigl(x+\dfrac12\Bigr)^{2}-\dfrac14$，配方后看出它只绕 $x=-\dfrac{1}{2}$ 对称。 若它同时绕 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 对称，直接算一下就矛盾：取 $x=0$，则 $h\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=\dfrac{\pi^{2}}{4}+\dfrac{\pi}{2}>0=h(0)$。B 不成立。

第二步：C 的两条轴差了一格

C 的内层 $g(x)=x^{2}+1$ 是偶函数，对称轴 $x=0$：它把 $x$ 与 $-x$ 折到一起。 外层 $h(x)=|x+1|$ 是一条折线，顶点在 $x=-1$，对称轴 $x=-1$。

两条轴不重合。具体地，取 $x=1$：内层把 $1$ 与 $-1$ 折到一起，而

$$h(1)=2\neq0=h(-1).$$

C 不成立。

第三步：D 的两条轴重合

D 的内层配方：

$$g(x)=x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,$$

对称轴 $x=-1$；外层 $h(x)=|x+1|$ 的对称轴也是 $x=-1$。同轴。 验证一下折叠关系确实兼容：内层把 $x$ 与 $-2-x$ 折到一起，而

$$h(-2-x)=|-2-x+1|=|-(x+1)|=|x+1|=h(x),$$

对一切 $x$ 成立。这一步的检验通过。

第四步：在轴的一侧反解，把 $f$ 写出来

同轴只是「必须如此」，还不够；还要真把 $f$ 造出来。在轴的右侧 $x\geq-1$ 上， $g(x)=(x+1)^{2}-1$ 随 $x$ 单调递增，取遍 $[-1,+\infty)$，而且是一一的。 设 $t=g(x)\geq-1$，由 $x\geq-1$ 解得

$$(x+1)^{2}=t+1,\qquad x+1=\sqrt{t+1}\ (\geq0),$$

于是在这一侧 $h(x)=|x+1|=x+1=\sqrt{t+1}$。所以令

$$f(t)=\sqrt{t+1},\qquad t\geq-1 .$$

对轴左侧的 $x<-1$，由第三步的对称性 $h(-2-x)=h(x)$ 与 $g(-2-x)=g(x)$， 等式自动成立。直接验算也可以：

$$f\bigl(x^{2}+2x\bigr)=\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|\qquad(\forall x\in\mathbf{R}).$$

D 成立，选 D。

答案：D。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是考场写法：$\sin 2x=0$ 挑两个点、$x$ 与 $-x$ 挑一对，三个反例三行字， 再把 D 的 $f$ 凑出来。它的全部风险在最后一步——$\sqrt{(x+1)^{2}}$ 必须写成 $|x+1|$。 写成 $x+1$ 的话，$x<-1$ 时等式就不成立，D 也会被误判掉。

解法二慢一点，但回答了「为什么」：内层的对称轴决定了它把哪两点折到一起， 外层若不绕同一条轴对称，$f$ 在折点处就被要求取两个值。 于是 C 与 D 的差别一句话说清——同样是二次式套绝对值，$x^{2}+1$ 的轴在 $x=0$， $x^{2}+2x$ 的轴在 $x=-1$，而 $|x+1|$ 的轴就在 $x=-1$。 它还顺手给出了造 $f$ 的办法：在轴的一侧上内层是一一的，把 $x$ 反解出来代进外层即可。

两条路都必须做完两件事：把三个错项各举一个反例（否定），并把 D 的 $f$ 真写出来（肯定）。 只做前一件，得到的只是「没找到反例」，那不是证明。

一句话记住这道题：$f$ 的自变量是内层的值。 内层把两点折到一起时，外层在这两点上必须给同一个数——否则 $f$ 不存在。