判断数列是否等差

题型说明

• 常见问法：「下列数列中是等差数列的是」「$\{a_n\}$、$\{a_n^{2}\}$、$\{S_n\}$ 中哪个成等差」。
• 给的是什么：一个含参数的背景（几何构型、递推、和式），几个由它派生的量。
• 要的是什么：对一切满足题设的情形都成立的那一个。只在某些参数下成立的，不算。

通用流程

1. 写显式表达式：把每个量写成 $n$ 的式子。几何题先建系或先用一次余弦定理 / 面积公式。
2. 看次数：
   • $n$ 的一次式 $\Rightarrow$ 等差；
   • 首项系数非零的二次式 $\Rightarrow$ 不等差（二阶差分是常数 $2A\neq0$）；
   • 根号下是二次式 $\Rightarrow$ 一般不等差，除非那个二次式恰是完全平方。
3. 判「不成立」只需一个反例：随手取一组具体参数算前三项，二阶差分不为零即可否掉。
4. 判「成立」要一般地证：把式子写成 $an+b$ 的形状，或直接验 $a_{n}+a_{n+2}=2a_{n+1}$。

判卷常见扣分点

• 只算了前两项之差就下结论——两项之差人人相等，说明不了任何事。
• 拿一组「凑巧」的参数验出某个量等差，就当成一般成立。
• 忘了检查「首项系数是否为零」：二次式的 $n^{2}$ 系数若恰为零，它其实是一次式。