圆内接正多边形的面积

题型说明

题面给一个圆（常是单位圆，半径 $1$）和一个内接正 $n$ 边形，问面积。 背景常挂着刘徽的「割圆术」——用内接正多边形的面积从下方逼近圆的面积 $\pi R^2$。

主线：连半径，切成 $n$ 块

把中心 $O$ 与 $n$ 个顶点全连上，正 $n$ 边形被切成 $n$ 个全等的等腰三角形：

• 两腰都是半径 $R$；
• 顶角都是中心角 $\dfrac{360^\circ}{n}$（$n$ 个顶角绕 $O$ 铺满一圈）。

于是一块的面积是 $\dfrac12R^2\sin\dfrac{360^\circ}{n}$，合起来

只算一块再乘 $n$——这是这类题唯一要做的事。

几个要记住的特例

$n=6$ 那一行有个好记的性质：中心角是 $60^\circ$，等腰三角形升级成正三角形，于是边长恰好等于半径。

注意

• $S_n$ 永远小于圆的面积——内接多边形在圆里面。要从上方逼近得用外切多边形。
• 「单位圆」是半径 $1$，不是直径 $1$。