浙江 2017 · 数学 q11

冷启动：题面那一大段话，真正的条件只有两个字

题面用了一整段讲刘徽、祖冲之和「割圆术」，但要算的东西藏在最后半句：

单位圆内接正六边形的面积 $S_6$

所有背景文字都不进计算。真正的条件只有两条：

• 单位圆——半径 $R=1$ 的圆。（是半径 $1$，不是直径 $1$。）
• 内接正六边形——六个顶点都在圆上、六条边一样长、六个内角一样大。

顺带说一句「割圆术」为什么要算这个：圆的面积不好直接算，刘徽的办法是拿内接正多边形去逼近它。 边数越多，多边形越贴近圆，面积越接近 $\pi R^2$。$S_6$ 是这条路上的第一站—— 所以这道题问的其实是「这条路的起点在哪儿」。

下面两条路都能走到答案，用的是两种相反的拆法：一种往里切，一种往外补。

解法一：割：从圆心切成六个正三角形

怎么想到的

正多边形最好的性质是有中心。把中心与每个顶点连起来，$n$ 条半径就把它切成 $n$ 块， 而且这 $n$ 块全等（旋转 $\frac{360^\circ}{n}$ 就重合）。于是「算一个六边形」变成「算一个三角形再乘 $6$」。

一块长什么样

取相邻的两个顶点 $A$、$B$，连 $OA$、$OB$。这块 $\triangle AOB$ 有两个已知量：

• 两腰都是半径：$OA=OB=1$；
• 顶角是中心角：六个顶角绕着 $O$ 铺满一圈，所以每个都是

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$

两腰相等 + 顶角 $60^\circ$，等腰三角形就升级成正三角形——因为两个底角各是 $\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$， 三个角都是 $60^\circ$。所以 $AB=OA=OB=1$：正六边形的边长恰好等于外接圆半径。 这一条值得单独记住，它在正六边形的题里反复出现。

算面积

一块的面积用「两边夹一角」：

$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\angle AOB=\frac12\cdot 1\cdot 1\cdot\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{4}$$

六块合起来：

$$S_6=6\times\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}$$

顺手把通式也写出来

这一段话里没有一处用到「$6$」这个具体的数，把它换成 $n$ 照样成立：

$$S_n=n\cdot\frac12R^2\sin\frac{360^\circ}{n}=\frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}$$

有了它，「割圆术」的后面几步是白送的（见文末）。

解法二：补：补成大正三角形再挖掉三个角

怎么想到的

第一条路是往里切。反过来想：这个正六边形像不像一个更大的图形被啃掉了几个角？

把它的第 $1$、$3$、$5$ 条边（隔一条取一条）分别向两端延长。因为正六边形的内角都是 $120^\circ$， 延长线之间的夹角是 $180^\circ-120^\circ=60^\circ$——三条延长线交出来的正是一个正三角形， 而正六边形就嵌在它中间，角上多出三个小三角形。

三个角有多大

角上每个小三角形，两条边分别是正六边形的一条边（长 $1$）与延长出去的那一段， 两个底角都是 $180^\circ-120^\circ=60^\circ$，所以它也是边长为 $1$ 的正三角形。

于是大正三角形的每条边 = $1$（角上那段）$+\,1$（六边形的边）$+\,1$（另一边角上那段）$=3$。

算面积

边长为 $a$ 的正三角形面积是 $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$（把「两边夹一角」的公式代 $a$、$a$、$60^\circ$ 就得到它）。所以

$$S_{\text{大}}=\frac{\sqrt3}{4}\times 3^2=\frac{9\sqrt3}{4},\qquad S_{\text{小}}=\frac{\sqrt3}{4}\times 1^2=\frac{\sqrt3}{4}$$ $$S_6=S_{\text{大}}-3S_{\text{小}}=\frac{9\sqrt3}{4}-3\times\frac{\sqrt3}{4}=\frac{6\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}$$

与解法一同一个数。 两条路各走一遍，本身就是一次免费的验算——两个结果对不上，必有一处算错。

这条路特别在哪

它从头到尾没用到那个圆：只要知道「正六边形的边长是 $1$」就够了。 反过来说，如果哪道题给的是边长而不是半径，这条路可以直接上，第一条路还要先把边长换回半径。

顺着「割圆术」往下走一步

有了通式 $S_n=\dfrac n2\sin\dfrac{360^\circ}{n}$（$R=1$），刘徽接下来做的就是不断把边数翻倍：

数列一路往上爬，且始终小于 $\pi\approx3.1416$——内接多边形在圆里面，面积当然不会超过圆。 刘徽算到正 $3072$ 边形得到 $3.1416$，祖冲之把这条路推到

$$3.1415926<\pi<3.1415927$$

领先世界一千多年。题面那段话不是装饰：$S_6$ 就是这条路的第一级台阶。

避坑清单

• 「单位圆」是半径 $1$。 读成直径 $1$，所有长度减半、面积变成四分之一（$\frac{3\sqrt3}{8}$），全错。
• 别把「内接」读成「外切」。 内接是顶点在圆上、六边形装在圆里，面积必定小于 $\pi$； 外切是每条边与圆相切、圆装在六边形里，那时半径 $1$ 是边心距，面积是 $2\sqrt3\approx3.46$，反而大于 $\pi$。 写完拿 $\pi\approx3.14$ 对一次方向，这个坑当场就露出来。
• 正六边形的边长等于半径，但正 $n$ 边形不是。 这条只在 $n=6$（中心角 $60^\circ$）时成立。 换成正五边形、正八边形，边长要用 $2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$ 算，不能顺手照抄。
• 切成六块后别忘了乘 $6$。 只算出 $\frac{\sqrt3}{4}$ 就填上去，是这道题最常见的失分方式； 同理，解法二里减的是三个角，不是一个。