边与圆的公共点个数

题型说明

• 常见问法：「以 $\ldots$ 为边长构成三角形，则它的边与半径为 $r$ 的圆的公共点个数最多为 ____」；也有问最少、或问「恰好 $n$ 个时 $r$ 的范围」的。
• 主线：
  1. 先把图形的尺寸算实。三边长、面积 $S$、半周长 $p$、内切圆半径 $r_{0}=\dfrac{S}{p}$ 都要有数。题目给的那个半径与 $r_{0}$ 的大小关系，往往就是全部机关。
  2. 一条边最多贡献 $2$ 个点。圆心到该边所在直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比：$d<r$ 给 $2$ 个、$d=r$ 给 $1$ 个、$d>r$ 给 $0$ 个——这是上界，实际还要看交点落不落在线段内。
  3. 把三条距离绑在一起。对平面上任一点，三条边长与三条距离满足 $a d_{1}+b d_{2}+c d_{3}\geqslant 2S$（点在形内时取等号）。要求「三条边都够得到」就是 $d_{i}\leqslant r$，代进去立刻看出 $r$ 至少要多大。
  4. 上界与例子各做一次。算出的上界只说明「不超过」，还要真摆一个圆出来把这个数取到，答案才算落定。
• 一条现成结论：$r$ 与内切圆半径 $r_{0}$ 的关系决定了能同时够到几条边——$r<r_{0}$ 时圆装不下、至多够到两条边；$r=r_{0}$ 时唯一能同时够到三条边的摆法就是内切圆本身（三个切点）；$r>r_{0}$ 时可以三条边各截两点，上界才轮得到 $6$。

常见陷阱

• 把「边」当成「所在直线」，于是按 $3\times 2=6$ 直接答 $6$；线段的两端把交点截掉了。
• 只验了「$d<r$」就断定有两个交点，没检查交点是否落在线段内。
• 只造出一个例子就当成最大值，没有证明不能更多；或者只证了上界没造例子。
• 忘了圆心可以落在三角形外面：外面那些位置同样要算进来，只是三条距离的符号变了。
• 顶点处的公共点被两条边各数一次，重复计数。