圆与圆锥曲线的公共点个数

题型说明

• 常见问法：「若任意以点 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围」。 多为解答题的第二问，带一个待定的形状参数。
• 骨架是对称性把问题降了一半：圆心落在曲线的对称轴上时，公共点关于这条轴成对出现。 于是「公共点个数」就等于「到圆心距离等于半径的成对点的对数」的两倍， 再加上轴上那个孤立点（如果它恰好也在圆上）。
• 因此本题型的真正问题是：函数「曲线上的点到 $A$ 的距离」在半条曲线上是不是单射。 单射 $\Rightarrow$ 每个半径至多配一对点 $\Rightarrow$ 至多 $2+1=3$ 个公共点； 不单射 $\Rightarrow$ 存在半径配两对点 $\Rightarrow$ 出现 $4$ 个公共点。

固定动作

1. 数清楚公共点能怎么凑。先把落在对称轴上的曲线点单列（它们不成对）， 剩下的一律成对。这一步决定了「$4$ 个」到底意味着什么。
2. 正难则反。「任意圆至多 $k$ 个」不好直接刻画，改问「什么时候会冒出第 $k+1$ 个」， 求出那个条件后取补集。
3. 把距离写成一个变量的函数。两条常用写法：
   • 用曲线上点的坐标：把 $|AP|^{2}$ 写成 $P$ 的纵坐标（或参数）的函数， 椭圆上 $x^{2}=a^{2}\left(1-y^{2}\right)$ 代进去就是一个二次函数，看它的顶点落在哪儿；
   • 用过 $A$ 的直线的斜率：$A$ 若在曲线上，过 $A$ 的弦长就是 $|AP|$， 由弦长公式写成 $k$ 的函数，再问「两个不同的 $k$ 能否给出同一个值」。
4. 单调性 / 顶点位置定分界。二次函数的对称轴是否落进参数区间，就是全题的分界点； 落在端点上算不算，要单独验。
5. 换回离心率。$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}$，注意 $e$ 关于 $a$ 的单调性， 区间端点跟着一起搬。

为什么「至多三个」而不是「至多两个」

因为对称轴上那个孤立点（椭圆的下顶点）可以单独落在圆上，凑出奇数个。 一对非轴点 $+$ 一个轴上点 $=3$，这是单射情形下能达到的上限， 所以题面写「至多三个」而不是「至多两个」——这句话本身就在暗示对称性该怎么用。

常见失手

• 把「任意圆」读成「存在圆」。条件是对所有半径都成立，取反才是「存在某个半径破坏它」。
• 忘了圆心自己就在曲线上。$A$ 到自身距离为 $0$，半径为正的圆不过 $A$，这一支要排除。
• 对称轴恰好落在区间端点时的开闭没验。分界值到底算进答案还是排除，全看这一步。
• 求出 $a$ 的范围就交卷，忘了换成离心率。