数列递推的放缩估值

题型说明

• 常见问法：「已知 $a_1=\dots$，$a_{n+1}=F(a_n)$，则（　）」，四个选项是 $100a_{100}$（或 $a_{100}$、$S_{100}$）落在哪个区间。
• 特点：通项根本求不出来，直接迭代 $99$ 次也不现实。唯一的出路是估——把它夹在两个能算的量之间。
• 这类题常年是浙江卷、新高考卷选择题的压轴，因为它同时考三件事：看出该对什么量下手、放缩放得准不准、以及有没有耐心把两侧都做完。

主线四步

1. 先摸清数列的性质：正负、单调、有界。这一步几乎总是数学归纳法，且后面每一步的不等式都靠它。
2. 找到那个「线性的量」：$a_n$ 本身往往既不等差也不等比，但某个变形（最常见的是倒数 $\dfrac1{a_n}$）的相邻差几乎恒定。
3. 把增量上下夹住，各累加一次：得到那个量的上界与下界，再翻回 $a_n$。
4. 对区间：两侧的界都要落进同一个选项才算完。

判断该做多细

先看目标区间有多宽。 选项给的是 $\left(\dfrac52,3\right)$ 这种宽度约 $0.5$ 的区间，说明估计要精确到大约 $2\%$——粗放缩肯定不够，必然要走「先粗后精」两轮。区间越窄，放缩要越细。

常见陷阱

• 只做了一侧：证出上界就选答案，而四个选项往往上界相同、下界不同（本题的 A、B 就是）。
• 放缩过头：用最省事的界累加 $99$ 次，误差被放大 $99$ 倍。
• 累加的项数、起点错：$a_1$ 到 $a_{100}$ 之间是 $99$ 个差；某些不等式只从 $n\ge2$ 起成立，前面要单独算。
• 取倒数忘了翻不等号。