抛物线切线与椭圆相交的参数最值

题型说明

• 常见问法：「设点 $P$ 在抛物线 $C_{2}$：$y=x^{2}+h$ 上，$C_{2}$ 在 $P$ 处的切线与椭圆 $C_{1}$ 交于 $M$、$N$，当线段 $PA$ 的中点与线段 $MN$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值。」 多为解析几何解答题的第 (Ⅱ) 问，$9$ 到 $10$ 分。
• 骨架是两个参数、一条约束：切点横坐标 $t$ 与平移量 $h$ 各自自由，中点条件把它们捆成一个方程 $F(t,h)=0$。于是「求 $h$ 的最值」就变成「让这个方程在允许的 $t$ 里有解」。

主线：三步，缺一不可

1. 把切线写出来。 切点 $P(t,\,t^{2}+h)$，斜率 $y'|_{x=t}=2t$，切线 $y=2tx-t^{2}+h$。 注意这里 $t$ 是待定的——切点不是给死的，它和 $h$ 一起构成两个自由度。
2. 把中点条件化成 $t$ 与 $h$ 的一个方程。 求弦 $MN$ 的中点横坐标有三条路（联立后用韦达、 点差法、把椭圆压成圆后取垂足），殊途同归；另一条线段的中点横坐标往往是现成的。
3. 回验图形真的存在。 第 2 步的方程只保证「若那条弦存在，则中点对得上」， 还必须补上「这条直线确实与椭圆交出两个不同的点」。这一步常常正是把一半的解全部筛掉的那一步。

这类题的两处关口

1. 两个判别式，不是一个。 一个是「中点方程 $F(t,h)=0$ 关于 $t$ 有实根」， 它给出 $h$ 的一个必要范围；另一个是「切线与椭圆有两个交点」，它才决定这个范围里 哪一段是真的。只写前一个，$h$ 的范围会多出一整段——本型的标准失分点。

2. 相交条件有个省事的写法。 把联立所得的二次式 $f(x)=Ax^{2}+Bx+C$（$A>0$）在它的对称轴 $x=x_{3}$ 处取值，正好是 $f(x_{3})=-\frac{\Delta}{4A}$；而 $f(x_{3})$ 又恰是 「把中点坐标代进椭圆方程左边减一」的那个数。于是

   $\Delta>0\iff \text{弦的中点落在椭圆内部} .$

   要判相交，量一下中点在不在里面就够了，不必把 $\Delta$ 整个展开。