直径圆含原点求直线的参数范围

题型说明

• 典型问法：「直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点，若原点 $O$ 在以线段 $AB$ 为直径的圆内，求 $m$ 的取值范围。」 线段有时不是 $AB$ 本身，而是由 $A$、$B$ 派生的（两个焦点三角形的重心连线、两条中位线的端点……）—— 派生的那一步多半是幌子，位似或平移之后条件与 $AB$ 那一版逐字相同。
• 骨架永远是三层：
  1. 联立消元，拿到 $x_{1}+x_{2}$、$x_{1}x_{2}$（或 $y$ 的那一对）；
  2. 把几何条件翻译成一个关于这些对称式的不等式；
  3. 与判别式 $\Delta>0$ 求交。

固定动作

1. 先把「在圆内」翻译掉：$P$ 在以 $AB$ 为直径的圆内 $\iff\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}<0$。 $P$ 是原点时就是 $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}<0$。
2. 联立时挑消元方向。直线写成 $x=my+c$（而不是 $y=kx+b$）有两个好处： 斜率不存在的情形自动包含在内；若题目问的是 $y_{1}y_{2}$ 这一族对称式，消 $x$ 一步到位。
3. 把 $x_{1}x_{2}$ 也用 $y$ 表示：$x_{i}=my_{i}+c$，于是 $x_{1}x_{2}=m^{2}y_{1}y_{2}+mc(y_{1}+y_{2})+c^{2}$，代进去整个式子只剩参数。
4. 最后与 $\Delta>0$ 及题面自带的范围求交。三者缺一不可。

常见失手

• 漏掉 $\Delta>0$。哪怕它最后被别的条件盖住，也得写出来——它是「$A$、$B$ 真的存在」的唯一保证。
• 把「圆内」写成「圆上或圆内」，端点凭空多出来。
• 被派生的那条线段吓住，去老老实实算它的中点与长度；先看一眼它与 $AB$ 是不是位似或平移， 是的话条件原样照搬。
• 忘了题面自带的参数范围（$m>1$ 之类），解出对称区间后没有裁掉另一半。