翻折中判断哪对直线能垂直

题型说明

• 常见问法：「将 $\triangle ABD$ 沿对角线 $BD$ 翻折，在翻折过程中，（　）」， 四个选项里前三条形如「存在某个位置，使得直线 $XY$ 与直线 $ZW$ 垂直」， 最后一条是「对任意位置，这三对均不垂直」。
• 它是存在性判定题，不是求值题。 图里除了原图形的几条边长，没有一个数是定的； 折到哪儿由你挑。所以每一条选项要么能被一个具体位置证实（那就是答案）， 要么在整个过程里恒不成立（那就出局）。
• 四个选项互相咬合：前三条是「$\exists$」，末条是它们三个的否定。 于是答案只可能有一条——找到一条能垂直的，末条自动假； 三条都恒不垂直，末条就是答案。这一点可以当校验用。
• 解这类题的全部信息在一句话里：翻折只改变一个自由度。 设折痕为 $\ell$，则
  • 折痕上的点不动；
  • 每个点到 $\ell$ 的距离不变，它到 $\ell$ 的垂足也不动；
  • 于是图形内部的所有长度都不变，唯一变的是「折起那一半」与「不动那一半」之间的二面角。 把待判的量写成这个二面角的函数，再看它的值域含不含 $0$，题就做完了。

标准动作

1. 先给运动一个参数。 记二面角为 $\theta$，$\theta$ 从 $180^{\circ}$（原图形摊平） 连续减到 $0^{\circ}$（对折贴合）。
2. 把「垂直」换成「数量积为 $0$」。 两条直线垂直 $\Leftrightarrow$ 它们的方向向量数量积为 $0$——不必管两条线是否相交，异面也照样判。
3. 把三个数量积都算成 $\theta$ 的函数。 三条选项于是变成三个「值域含不含 $0$」的问题。
4. 逐条给结论。 恒不为零的出局；跨过零的，指出它在哪个位置取到零。