导数研究函数单调性与不等式

题型说明

• 常见问法：第 (1) 问给一个含参函数，讨论单调性；第 (2) 问在某个参数范围内证明不等式（或求最值、证恒成立）。
• 主线：求 $f'(x)$，按参数符号分类看 $f'$ 的正负得单调区间；证不等式时把「$\forall x$ 成立」化成「$f$ 的最值满足条件」，得到只含参数的式子，再对它构造单变量函数求导或用切线放缩定号。

常见陷阱

• 含参求导后只讨论「参数 $>0$」，漏掉「参数 $\le 0$ 时 $f'$ 恒负、整体递减」这一支。
• 恒成立化最值时弄混 $>$ 与 $\ge$，或忘记最值点要在定义域内取得。