含参不等式的存在性问题

题型说明

• 常见问法：「若存在 $t\in\mathbf{R}$，使得 $\lvert f(t+2)-f(t)\rvert\leqslant\frac{2}{3}$，则 $a$ 的最大值是____」「$\exists x\in I$，$f(x)<g(a)$，求 $a$ 的范围」。

• 它是恒成立问题的镜像，两边的翻译刚好反过来：

  $$\exists x\in I,\ f(x)\leqslant c \iff \min_{I}f\leqslant c, \qquad \forall x\in I,\ f(x)\leqslant c \iff \max_{I}f\leqslant c .$$

  读错量词，min 与 max 就换了位置，答案往往正好是「另一半」。

三步固定动作

1. 把含 $t$ 的一整坨换成一个变量，并当场算出它的取值范围。二次式一律配方：$3t^{2}+6t+4=3(t+1)^{2}+1$，所以 $m\in[1,+\infty)$——这个范围就是后面全部讨论的舞台，漏了它答案必错。
2. 把不等式解成「换元后的量落在某个集合里」。绝对值先脱：$\lvert am-1\rvert\leqslant\frac{1}{3}\iff am\in\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$。
3. 让值域与目标集合相交：$am$ 在 $m\in[1,+\infty)$ 上能取到的全部值构成一个集合，只要它与 $\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$ 有公共点，就存在这样的 $t$。

三条出口，挑一条

• 值域法（最稳）：把「能取到的值」写成区间。$a>0$ 时 $\{am\mid m\geqslant 1\}=[a,+\infty)$，与 $\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$ 有交 $\iff a\leqslant\frac{4}{3}$。一步到位，不用讨论图形。
• 最值法：把不等式写成 $g(m)\leqslant c$，存在解 $\iff \min g\leqslant c$。适合 $g$ 的最小值好算的情形。
• 参变分离：对每个固定的 $m$ 解出 $a$ 的允许区间（这里是 $\left[\frac{2}{3m},\frac{4}{3m}\right]$），再看这些区间并起来是什么。存在型对应并集、恒成立型对应交集——这是两类题在这条路线上的分水岭。

常见陷阱

• 量词读反：把「存在」当成「任意」，于是用了 $\max$ 而不是 $\min$。
• 换元后忘了新变量的范围：$m$ 的范围是 $[1,+\infty)$ 而不是 $\mathbf{R}$；若当成全体实数，$am$ 什么值都能取，答案就成了「$a$ 无上界」。
• 只验一个特殊点就收工：取 $m=1$ 得到的是一个充分条件（够用时能给出答案），但要说明「$a$ 再大就不行」，还得回头看整条射线。填空题可以只写结论，解答题必须补这一句。
• 漏掉参数取零或取负的那一支：$a\leqslant 0$ 时 $am\leqslant 0$，$\lvert am-1\rvert\geqslant 1$ 永远超标——这句话一句带过即可，但不能不说。