函数的递推不等式

题型说明

• 常见问法：函数在一段区间上有已知解析式（给出初值），在全定义域上满足一个递推不等式；问某个关于函数值的结论「一定正确」的是哪条。
• 关键动作：沿递推链逐点放缩——把 $f(n)$ 与一个由初值与递推式定死的下界链（如 Fibonacci 链）比较，直到下界越过题目给的阈值。
• 「一定正确」要对一切满足条件的函数成立：证对了的那条靠递推链，否掉的每条靠构造反例（见套路「构造反例」）。

常见陷阱

• 递推不等式只给单边的界（见易错点「递推不等式只给单边界」）：$f$ 可以任意大，凡「$f(\cdot)<$ 某数」都直接否。
• 递推链推一半就下结论：下界链没过阈值时，目标点的界还没证到，要继续推而不是回头改写结论。
• 只验整数点就以为反例成立：条件管的是全体实数 $x$，反例在小区间接口处必须逐段验。