从曲线上一点向圆引两条切线

题型说明

• 常见问法：「已知点 $P$ 是抛物线 $C_{1}$ 上一点（异于原点），过 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线， 交 $C_{1}$ 于 $A$、$B$ 两点。若过 $M$、$P$ 的直线 $l$ 垂直于 $AB$，求 $l$ 的方程。」
• 图形里有三条线索：$P$ 在曲线上、两条线与圆相切、$A$ 与 $B$ 又回到曲线上。 三条线索都要用，缺一条方程就列不出来。
• 出题人真正考的是「两条」这个数量：两条切线不是两个独立对象， 而是同一个二次方程的两个根，于是韦达定理一步就把「两条一起」的信息交出来， 不必分别把 $k_{1}$、$k_{2}$ 解出来。

骨架：三步把图形化成一个方程

第二步里未知数选谁，决定了这道题好不好算：

• 选切线的斜率 $k$，方程是 $k$ 的二次式，但求出的 $A$、$B$ 还要再代回曲线一次；
• 选交点的横坐标 $x_{1}$，相切条件直接就是 $x_{1}$ 的二次式，$A$、$B$ 的横坐标当场是它的两根， 少一层代换，也不用担心竖直切线没有斜率。

别漏的三件事

1. $P$ 必须在圆外，两条切线才真的存在；解完要回代验一次 $|PM|>r$。
2. 两条切线必须都与曲线再交一次。竖直的那条切线与 $x^{2}=y$ 只交于 $P$ 一点， 这时 $A$ 或 $B$ 根本不存在，对应的 $x_{0}$ 要排除。
3. 二次方程的二次项系数常含参数。它为零时方程退化成一次，只剩一条切线， 题设的「两条」当场垮掉，这一档要单独交代。