几何体放入正方体

题型说明

设正方体棱长为 $a$。判断一个物体能否整体放入，就是看正方体在「该物体需要的方向 / 截面」上够不够大。四个高频判据：

• 球：看内切球，直径 $=a$。球直径 $\le a$ 即放得下。
• 正四面体：正方体内接正四面体（取四个两两不相邻的顶点）棱长 $=\sqrt{2}\,a$（面对角线）。四面体棱长 $\le\sqrt{2}\,a$ 即放得下。
• 细长杆 / 高圆柱：正方体内最长的线段是体对角线 $=\sqrt{3}\,a$。物体「长度」$>\sqrt{3}\,a$ 一定放不进。
• 扁圆盘 / 矮圆柱：别只盯着正方形面（只能容直径 $a$ 的圆）。斜着切的中点正六边形截面（过六条棱的中点）边长 $=\tfrac{\sqrt{2}}{2}a$，其内切圆直径 $=\tfrac{\sqrt{6}}{2}a\approx1.225\,a$，比 $a$ 还大——直径在 $(a,\ \tfrac{\sqrt{6}}{2}a]$ 之间的薄圆盘，斜着就能塞进去。

常见陷阱

• 判「放不进」时只试与面平行的截面，忘了斜截面能容纳更大的圆（见对应易错点）。
• 把体对角线 $\sqrt{3}\,a$ 误成面对角线 $\sqrt{2}\,a$，于是放错了「最长能塞多长」。