浙江 2023 · 数学 q12

转着看 · 换个机位再判断

棱长 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 装得下什么（四个物体各自单独放入，这里叠着画）：放得下 球 直径 0.99（内切球直径 1.000）、正四面体 棱长 1.4（内接最大棱长 1.414）、圆柱 底面直径 1.2（中点六边形内切圆直径 1.225）；放不下 圆柱 高 1.8（体对角线只有 1.732）

机位1题图角度2正对 EFGHIJ3沿 EFGHIJ 看4俯视自由视角

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冷启动：把「放得下」翻译成尺寸比较

正方体棱长 $a=1$。一个物体能否整体塞进去，取决于正方体在「该物体卡住的那个方向 / 截面」上够不够大。所以四个选项其实是四次独立的尺寸比较，逐个看。

解法一：逐件比「能容纳它的关键尺寸」

怎么想到的。 没有统一公式，每件物体卡它的地方不一样——球卡直径、细长物体卡长度、薄圆盘卡截面里的圆。找准那个「关键尺寸」，跟正方体能提供的极限比一下即可。

A（球，直径 $0.99$）。 正方体的内切球直径 $=a=1>0.99$，球放得下。✓

B（正四面体，棱长 $1.4$）。 取正方体里两两不相邻的四个顶点（如 $D,A_1,B,C_1$），连成一个内接正四面体，它的每条棱都是正方体的面对角线，长 $=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\approx1.414>1.4$。所以棱长 $1.4$ 的正四面体能放进去。✓

C（圆柱，底面直径 $0.01$、高 $1.8$）。 圆柱再细，它的轴也得是一条落在正方体内的线段；而正方体内最长的线段是体对角线 $=\sqrt{3}\approx1.732<1.8$。轴都摆不下，整个圆柱更不行。✗

D（圆柱，底面直径 $1.2$、高 $0.01$）。 高 $0.01$ 几乎可忽略，相当于问「直径 $1.2$ 的圆盘能否塞进正方体」。正方形面只能容直径 $1$ 的圆，看似不行——但那是与面平行的摆法。斜着切，过六条棱中点的截面是个正六边形，边长 $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，它的内切圆直径

$$=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx1.225>1.2$$

所以把薄圆盘斜贴在这个六边形上就放得下，高 $0.01$ 也容得下。✓（另有一法：以体对角线 $AC_1$ 为轴斜放，同样能容直径 $1.2$，结论一致。）

综上选 ABD。

为什么是「只有一条路」。 这不是「解一道题」，而是「验四件物体」：A 看内切球、B 看内接正四面体、C 看体对角线、D 看斜截面，四个判据各管各的，缺一不可、也无法互相替代。把它们拼起来就是唯一的完整做法。

🕳️ 避坑

• D 这种「直径比棱长大」的薄盘，别因为正方形面装不下就判死——斜截面（中点正六边形）里的内切圆比棱长还大（见放入正方体只试平行截面忘了斜截面）。
• 判「最长能塞多长」用体对角线 $\sqrt{3}\,a$，别误用面对角线 $\sqrt{2}\,a$；C 正是栽在 $1.8>\sqrt{3}$ 上。

对照选项 A. 直径 $0.99$ 的球、B. 棱长 $1.4$ 的正四面体、C. 底面直径 $0.01$ 高 $1.8$ 的圆柱、D. 底面直径 $1.2$ 高 $0.01$ 的圆柱，故选 ABD。