线性规划求最值

题型说明

• 常见问法：「若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\{\dots\}$，则 $z=ax+by$ 的最大值（最小值）是（　）」。也有把目标换成 $\dfrac{y}{x}$（斜率型）、$x^2+y^2$（距离型）的变式，那时目标不再是线性的，要换几何解释。
• 多为选择题、填空题，分值低但步骤多：画区域、求顶点、算值，任一步错就全错。
• 关键动作：先把可行域画对（这是全题的地基），再用平移目标直线定出最优顶点，或者干脆把顶点全算一遍比大小。

提醒：不在现行教材里

这个题型依赖的「二元一次不等式（组）与平面区域」一节不在现行人教A版 5 册内（见概念页线性规划的无出处声明）。它在浙江 2008–2013 自主命题时代是固定考点，照旧卷备考的读者要知道这一点。

常见陷阱

• 半平面取错一侧：$x-y-2\le 0$ 到底是直线的上方还是下方，要代一个具体点（原点最省事，前提是它不在直线上）验一次，别凭感觉。
• 平移方向弄反：$z=ax+by$ 里 $b$ 的符号决定「截距变大」是不是「$z$ 变大」。方向反了就把最小值当最大值报上去，而出题人几乎总把最小值也摆成一个选项。
• 顶点坐标目测：图上看着像 $(2,3)$ 就写 $(2,3)$。顶点必须由两条边界直线联立解出来。
• 忘了检查区域有没有界：无界区域上最值可能不存在，这时「顶点里最大的那个」不是答案。